Terminologie bei Inklusionsrelationen auf Potenzmengen

01.11.2013, 23:20

Trident93

Terminologie bei Inklusionsrelationen auf Potenzmengen

Heyho,

ich habe nur eine kleine Frage bezgl. der Terminologie bei der Mengenlehre.

Es gilt ja, dass die Relation " $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ " auf die Potenzmenge $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine partielle Ordnung ist.

Ich frage mich nur, wieso das so ist (stimmen wird es wohl, sonst hätten sich ja gefühlt 300 Autoren von DS-Büchern girrt Big Laugh

)

- Reflexiv: Verstehe ich, eine Menge ist immer auch eine Teilmenge von sich selbst
- Antisymmetrisch: Klar, wenn $\begin{eqnarray*} M \subseteq 2^M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^M \subseteq M \end{eqnarray*}$ gilt, sind $\begin{eqnarray*} M = 2^M \end{eqnarray*}$ , obwohl das nie (?) der Fall ist
- Transitiv: Es werden nur 2 Mengen betrachtet, also kann man Transitivität nicht überprüfen, ergo trifft das Kriterium zu (?)

Aber ist nun bspw. bei:
$\begin{eqnarray*} M = \{a,b\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(M) = 2^M = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} \end{eqnarray*}$

Ist nun wirklich $\begin{eqnarray*} \{a,b\} \subseteq \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} \end{eqnarray*}$ , denn um alle Elemente von M sind ja in der Potenzmenge nochmal Mengenklammern drumrum, also müsste doch eigentlich kein Element von $\begin{eqnarray*} \{a,b\} \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ vorhanden sein.

Bei z.B. $\begin{eqnarray*} \{a,b\} \subseteq \{ a,b,c \} \end{eqnarray*}$ leuchtet das ja noch ein, da sind nicht nochmal Mengenklammern drumrum.

Ist nun M wirklich eine Teilmenge von P(M) und wieso?

Vielen Dank im Voraus smile

PS: Tut mir leid, wenn das für euch evtl. viel zu einfach ist, aber ich bin gerade erst ins 1. Semester bekommen und versuche noch, das ganze Konzept zu verinnerlichen.

01.11.2013, 23:55

DaCaeser

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RE: Terminologie bei Inklusionsrelationen auf Potenzmengen
Du vertust dich ein wenig in der Ebenen. Denn hier

Zitat:

- Antisymmetrisch: Klar, wenn $\begin{eqnarray*} M \subseteq 2^M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^M \subseteq M \end{eqnarray*}$ gilt, sind $\begin{eqnarray*} M = 2^M \end{eqnarray*}$ , obwohl das nie (?) der Fall ist

gilt nicht $\begin{eqnarray*} M\subseteq 2^M \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} M\in 2^M \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ betrachtest du für zwei Elemente aus der Potenzmenge. Die Menge selbst spielt dabei nie mit, es seiden du beschäftigst dich mit $\begin{eqnarray*} 2^{2^M} \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 00:00

DaCaeser

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RE: Terminologie bei Inklusionsrelationen auf Potenzmengen
Bei der Transitität trifft das in der Tat zu. Denn seien $\begin{eqnarray*} A,B,C\in 2^M=\mathfrak{P}(M) \end{eqnarray*}$

und gelte (i) $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ und (ii) $\begin{eqnarray*} B\subseteq C \end{eqnarray*}$

So ist mit $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ wegen (i) auch $\begin{eqnarray*} x\in B \end{eqnarray*}$ , und für dieses $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt dann wegen (ii) auch $\begin{eqnarray*} x\in C \end{eqnarray*}$ damit folgt $\begin{eqnarray*} A\subseteq C \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 01:11

Trident93

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RE: Terminologie bei Inklusionsrelationen auf Potenzmengen

Zitat:

Original von DaCaeser
Du vertust dich ein wenig in der Ebenen. Denn hier

gilt nicht $\begin{eqnarray*} M\subseteq 2^M \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} M\in 2^M \end{eqnarray*}$ die Beziehung $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ betrachtest du für zwei Elemente aus der Potenzmenge. Die Menge selbst spielt dabei nie mit, es seiden du beschäftigst dich mit $\begin{eqnarray*} 2^{2^M} \end{eqnarray*}$

Danke erstmal smile

, deine Erklärung zur Transität klingt einleuchtend.

Aber hier bei der Antisymmetrie komme ich doch nicht ganz mit. Wieso gilt hier $\begin{eqnarray*} M \in 2^M \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} M \subseteq 2^M \end{eqnarray*}$ ? So war doch die Relation definiert verwirrt

$\begin{eqnarray*} M \in 2^M \end{eqnarray*}$ würde zwar besser passen, weil ja bspw. in meinem Beispiel $\begin{eqnarray*} {a,b\} \in \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} \end{eqnarray*}$ ja zutrifft. Aber gefragt war ja die Relation " $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ " von M auf $\begin{eqnarray*} 2^M \end{eqnarray*}$ .
Oder verstehe ich da was falsch?

02.11.2013, 01:13

Trident93

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RE: Terminologie bei Inklusionsrelationen auf Potenzmengen
Sorry, beim falschen Latex-Code soll es heißen: $\begin{eqnarray*} \{a,b\} \in \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 01:25

DaCaeser

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RE: Terminologie bei Inklusionsrelationen auf Potenzmengen
Die Anti symmetrie kannst du dir auch recht leich überlegen.

Seien dafür $\begin{eqnarray*} A,B\in\mathfrak{P}(M) \end{eqnarray*}$ , und gelte $\begin{eqnarray*} A\subseteq B, B\subseteq A \end{eqnarray*}$ .

Angenommen es gelte nicht $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ , so können wir o.B.d.A. (anderenfall vertausche $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ) annehmen es existiert ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ . Dann gilt aber nicht mehr $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ . Widerspruch!

In deinem konkreten Fall trifft das auch zu. Wenn $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \end{eqnarray*}$ und umgekehrt gilt so folgt immer gleichheit. Oder findest du doch ein Paar? Tanzen

02.11.2013, 01:31

DaCaeser

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RE: Terminologie bei Inklusionsrelationen auf Potenzmengen
Nun zu deiner anderen Frage.

Du betrachtest hier einmal zwei ebenen. Die eine Ebene ist die Ebene auf $\begin{eqnarray*} M:=\{a,b\} \end{eqnarray*}$ hier sind die Elemente $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ . Dann betrachtest du Teilmengen und fasst diese in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P}(M):=\{\varnothing,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}=\{\varnothing,\{a\},\{b\},M\} \end{eqnarray*}$ , das ist die zweite Ebene. Verwirrend ist es das $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ hier doppelt auftaucht, einmal als Obermenge von Elementen und einmal selbst als Menge.

Die Inklusion $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ist im Grunde genommen eine Relation auf $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P}(M)\times \mathfrak{P}(M) \end{eqnarray*}$ und vergleicht dann Elemente auf der Ebene $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in dem es prüft ob die Elemente von der Mengen der linken seite auch in der der rechten Seite sind.

02.11.2013, 11:28

Trident93

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RE: Terminologie bei Inklusionsrelationen auf Potenzmengen

Zitat:

Original von DaCaeserDie Inklusion $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ ist im Grunde genommen eine Relation auf $\begin{eqnarray*} \mathfrak{P}(M)\times \mathfrak{P}(M) \end{eqnarray*}$ und vergleicht dann Elemente auf der Ebene $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ in dem es prüft ob die Elemente von der Mengen der linken seite auch in der der rechten Seite sind.

Dieser Satz! Danke, genau das war das fehlende Puzzlestück Big Laugh

Ich dachte immer, es geht bei der Relation um $\begin{eqnarray*} M \times \mathfrak{P}(M) \end{eqnarray*}$

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