vollständige Induktion mit Summengrenzwertberechnung?

Neue Frage »

chalente Auf diesen Beitrag antworten »
vollständige Induktion mit Summengrenzwertberechnung?
Hallo Community,

ich soll für eine Hausaufgabe mittels vollständiger Induktion beweisen, ob gültig ist oder nicht.

Ich habe dazu beide Seiten der Gleichung durch n dividiert:


Die division durch eine positive Zahl ändert soweit ich weiß nichts an der Ausrichtung des Schnabels. Jetzt möchte ich den Grenzwert der linken Seite berechnen. Wenn dieser ist, ist die Gleichung erfüllt.

Die einzige Idee, die mir dazu einfällt, wäre den Grenzwert mit Testeinsetzungen zu bestimmen. Da mein Taschenrechner leider über keine Sigma-Funktion verfügt, kann ich das leider nicht machen. Jetz wurde in der letzten Vorlesung zwar irgendetwas über Konvergenz erzählt, aber nicht direkt gezeigt, wie man den Grenzwert einer Summe berechnet. Ich frag mich auch ob es nicht vielleicht doch einen besseren Weg gibt, den Beweis durchzuführen. Deswegen frage ich hier mal nach Rat.

Viele Grüße
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Zitat:
vollständiger Induktion

ist das entscheidende.


Zitat:
etzt möchte ich den Grenzwert der linken Seite berechnen

Wieso? Und was für einen überhaupt?

Zitat:
Ausrichtung des Schnabels.

Bitte wie?
chalente Auf diesen Beitrag antworten »

gut dann erläutere ich alles nochmal im Detail:

Zur Übersichtlichkeit nochmal die zu beweisende Aussage .
Die ersten Schritte der vollständigen Induktion habe ich schon gemacht. Wenn ich dann die Summe bis n+1 gehen lasse und das +1 abspalte, habe ich folgendes zu stehen:

Aufgrund des < Zeichens kann ich den Term aber nicht durch ersetzen. <-vollst. Induktion mit klassischem Verfahren fehgeschlagen!

Also dachte ich mir, man könne auch einfach die Ausgangsgleichung durch n dividieren, sodass dort lediglich steht . Die Gültigkeit dieser Gleichung lässt sich jetzt über den Grenzwert von bestimmen. Wenn n beliebig groß werden kann, ohne dass der Term größer als 2 wird, ist die Ursprungsgleichung bewiesen.
Eigentlich möchte ich nur wissen, wie das mit den lim für solche Summen mit Sigma funktioniert.

P.S. mit Schnabel war das "kleiner als"-Zeichen gemeint^^
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die ersten Schritte der vollständigen Induktion habe ich schon gemacht.

Die da wären?

Zitat:
Wenn ich dann die Summe bis n+1 gehen lasse und das +1 abspalte,

Auch hier kann ich nur raten, dass du sowas meinst: für eine Folge
Zitat:

Und was soll dieser Term jetzt sein? Die Induktionsbehauptung?
Zitat:
Aufgrund des < Zeichens kann ich den Term aber nicht durch ersetzen.

Bitte wie?
Zitat:
<-vollst. Induktion mit klassischem Verfahren fehgeschlagen!

Nein, die Induktion funktioniert hier durchaus.
Du führst sie nur nicht sauber aus.

Schreibe sauber Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung hin.

Wende auf die Induktionsvor. an und du erhältst fast sofort die Induktionsbehauptung.



Zitat:
Die Gültigkeit dieser Gleichung lässt sich jetzt über den Grenzwert von bestimmen

Das ist falsch. Aus folgt nicht .
Gegenbeispiel:
Und es ist keine Gleichung (=), sondern eine Ungleichung (>,<).

Zitat:
lim für solche Summen mit Sigma funktioniert.

Ist dir bewusst, dass Sigma hier das Summenzeichen ist?
Der Zähler komvergiert hier übrigens nicht, d.h. man kann hier kaum Rechenregeln bei der Bstimmung des Grenzwerts anwenden.
chalente Auf diesen Beitrag antworten »

gut, damit hier JEDER folgen kann ganz ausführlich:

zu beweisende Ungleichung: für
Induktionsanfang:
Für n=1 ist die Ungleichung erfüllt.
Induktionsvorraussetzung: ist eine wahre Aussage
Induktionsbehauptung:
Indutkionsschritt: (1)abspalten von +1:

(2)an dieser Stelle setzt man normalerweise den (rechten) Term aus der Induktionsvorraussetzung für ein, nämlich . In der Induktionsvorraussetzung steht allerdings kein Gleichheitszeichen zwischen den beiden, weshalb das nicht funktionieren kann!

Für mich ist an dieser Stelle die Induktion gescheitert, ansonsten belehrt mich eines besseren.

Und jetzt nochmal zu meinem Plan B:
Wieso sollte ich nicht berechnen können? Erläuter das mal bitte..
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Nach der Induktionsvoraussetzung ist für ein .

Folglich ist

Nun sollte man anwenden können, dass aus auch folgt.
 
 
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wieso sollte ich nicht berechnen können? Erläuter das mal bitte..

Kannst du es denn?
Ich habe nicht gesagt, dass es nicht geht. (der Grenzwert ist übrigens 0).
Nur dass man die Rechenregeln nicht ohne Weiteres anwenden kann.

Zitat:
weshalb das nicht funktionieren kann!

Du machst hier einen massiven Fehlschluss:
Nur weil du es nicht kannst, heißt es nicht dass es nicht geht.
Da hilft auch kein Fettschreiben.

Zitat:
Für mich ist an dieser Stelle die Induktion gescheitert, ansonsten belehrt mich eines besseren.

Wofür hab ich den letzten Post eigentlich geschrieben. Da steht doch recht deutlich drin was zu machen ist. Und warum dein Plan B murks ist.

Zitat:
gut, damit hier JEDER folgen kann ganz ausführlich:

Ich kann sehr gut nachvollziehen was du falsch machst. Blöd dass dir die Einsicht fehlt und du mich stattdessen blöd von der Seite anmachst.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Kein Kommentar zu den bisherigen Lösungsversuchen (das hat Captain Kirk hinreichend getan), sondern nur zur Sinnhaftigkeit von Vollständiger Induktion für diese Aufgabe:


Kann man natürlich tun, aber das ist (wieder mal) mit Kanonen auf Spatzen geschossen: Die für alle gültige direkte Abschätzung



tut es schließlich auch.
chalente Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Tesserakt
Nun sollte man anwenden können, dass aus auch folgt.

Sorry ich verstehs nicht. Ich äußere nochmal mein Problem. Denn bis zum Einsetzen der Induktionsvorraussetzung ist eig alles klar.

Wenn ich euch richtig verstehe, soll ich jetzt einfach die Induktionsvorraussetzung einsetzen:

Ich verstehe überhaupt nicht, wieso das richtig sein sollte. 2n ist ja schließlich größer als der Term, den es jetzt ersetzt, also könnte die ganze Gleichung ungültig werden.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Du mußt immer schön feinfühlig unterscheiden, was vorausgesetzt werden kann und was zu beweisen ist.

Also: zu beweisen ist: (I)

Vorausgesetzt wird: (II)

Jetzt nimmt man die linke Seite von (I) und unter Verwendung der Ungleichung (II) folgt:

(III)

Es liegt auf der Hand, daß ist. Damit kann man nun die rechte Seite der Ungleichung (III) nach oben abschätzen und man ist fertig.

Bleibt noch die Frage von HAL9000, warum es unbedingt die vollständige Induktion sein muß.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »