Integral von 1/(x*sqrt(x^2-1)) mittels Substitutionsmethode für x=1/z

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02.11.2013, 14:40	cheetah	Auf diesen Beitrag antworten »
*Integral von 1/(xsqrt(x^2-1)) mittels Substitutionsmethode für x=1/z Meine Frage:** Die Aufgabe ist es, mittels Substitution folgendes Integral zu berechnen: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{x\sqrt{x^2-1} } \, dx \end{eqnarray}$ . Dabei muss die Substitution $\begin{eqnarray} x=1/z \end{eqnarray}$ angewandt werden. (Teil der Aufgabe, keine eigene Idee) Meine Ideen: Erst mal: $\begin{eqnarray} x'=\frac{dx}{dz} = -1z^{-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} dx= -1z^{-2}dz \end{eqnarray}$ Eingesetzt ins Integral kommt raus: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{-1}{z\sqrt{z^{-2}-1} } \, dz \end{eqnarray}$ Und jetzt? Wie kann ich das integrieren? Bin am verzweifeln
02.11.2013, 14:55	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Integral von 1/(xsqrt(x^2-1)) mittels Substitutionsmethode für x=1/z** Bis dahin stimmt es, setze $\begin{eqnarray} 1=\frac{z^2}{z^2} \end{eqnarray}$ und vereinfache zuerst.
02.11.2013, 14:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
(vergiss es)
02.11.2013, 15:30	cheetah	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, danke erstmal. Ich seh aber leider nicht, wie mir das weiterhilft Vereinfacht müsste das doch so aussehen: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{-1}{z}\frac{1}{\sqrt{\frac{-z^{2}+1}{z^{2} } } } \, dz \end{eqnarray*}$ Hier hab ich aber immer noch das Problem, wie ich das nun integriere. Produktregel würde mir hier doch nicht helfen, da mir -ln(z) nicht helfen würde und ich beim anderen keine Ahnung hab, wie man es integrieren kann...
02.11.2013, 15:33	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist: $\begin{eqnarray} \sqrt{\frac{1-z^2}{z^2} } =\frac{\sqrt{1-z^2} }{\sqrt{z^2} } \end{eqnarray}$
02.11.2013, 16:39	cheetah	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi. Ich weiß irgendwie immernoch nicht weiter :S ich habe jetzt $\begin{eqnarray} \int\! \frac{-1}{z^2} \sqrt{1-z^2} \, dz \end{eqnarray*}$ und sehe nun wirklich keine Möglichkeit mehr, das noch weiter zu vereinfachen. Die Anwendung der Produktregel macht ja auch keinen Sinn, da hier nichts durch stetiges Ableiten wegfällt. Gibts überhaupt irgendeine andere Möglichkeit, als noch mal zu substituieren?
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02.11.2013, 16:49	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Schauh mal: $\begin{eqnarray} -\int \frac{1}{z} \frac{1}{\frac{\sqrt{1-z^2} }{\sqrt{z^2} } } \, dz \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} -\int \frac{1}{z} \frac{\sqrt{z^2} }{\sqrt{1-z^2} } \, dz \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} - \int \frac{1}{\sqrt{1-z^2} } \, dz \end{eqnarray}$ und das ist ein Grundintegral
02.11.2013, 18:02	cheetah	Auf diesen Beitrag antworten »
Jetzt hab ich mich in meinen eigenen Unterlagen verguckt. Klar. Vielen Dank... $\begin{eqnarray} - \int \frac{1}{\sqrt{1-z^2} } \, dz = \arcsin(z) \end{eqnarray}$ und jetzt muss ich nur noch Resubstitution anwenden, und da $\begin{eqnarray} x=1/z \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} z=1/x \end{eqnarray}$ und das Ergebnis wäre $\begin{eqnarray} \arcsin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray}$ ...oder?
02.11.2013, 18:11	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
nicht ganz , das Minus und am Ende das +C fehlen , ansonsten stimmt es jetzt.
02.11.2013, 18:16	cheetah	Auf diesen Beitrag antworten »
Hatte sogar beides in meinen Unterlagen und habs hier nur vergessen hinzuschreiben Jedenfalls vielen, vielen Dank für deine Hilfe!

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