Grad einer Körpererweiterung und inverses

02.11.2013, 14:54	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
Grad einer Körpererweiterung und inverses Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} \zeta=\sqrt[3]{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb{Q} \left( \zeta \right) = \{ \alpha + \beta \zeta + \gamma \zeta^2 \vert \alpha , \beta , \gamma \in \mathbb{Q }\} \end{eqnarray}$ . Bestimme den Grad der Körpererweiterung $\begin{eqnarray} \mathbb{Q}(\zeta)\slash\mathbb{Q} \end{eqnarray}$ und zeige, dass jedes Element $\begin{eqnarray} g(\zeta)=\alpha+\beta\zeta+\gamma\zeta^2\neq 0 \end{eqnarray}$ ein eindeutig bestimmtes Inverses $\begin{eqnarray} h(\zeta)=a+b\zeta+c\zeta^2 \end{eqnarray}$ hat und geben Sie die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$ in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray} \alpha,\beta,\gamma \end{eqnarray}$ an. Meine Ideen: Zum Grad (kurz): Minimalpolynom $\begin{eqnarray} \mu_\zeta = X^3-2 \end{eqnarray}$ daher ist der Grad 3. Da $\begin{eqnarray} \mu_\zeta \end{eqnarray}$ irreduzibel ist, folgt $\begin{eqnarray} ggT(g,\mu_\zeta)=1 \end{eqnarray}$ , nach Bézout ex. $\begin{eqnarray} h,\tilde{h} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 1=h(\zeta)g(\zeta)+\tilde{h}(\zeta)\mu_\zeta(\zeta)=h(\zeta)g(\zeta) \end{eqnarray}$ jetzt häng ich noch an den Koeffizienten $\begin{eqnarray} a,b,c \end{eqnarray}$
02.11.2013, 15:21	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Grad einer Körpererweiterung und inverses hallo, vielleicht hilft hier ja ein einfaches ausmultiplizeren von g und h und ein anschliessender koeffizientenvergleich, wobei zu berücksichtigen ist, das $\begin{eqnarray} \zeta^3 =2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \zeta^4=2\zeta \end{eqnarray}$ gilt. gruss ollie3
02.11.2013, 15:37	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
also erst mal $\begin{eqnarray} (a\gamma+\alpha c+b\beta )\zeta^2+(a\beta+\alpha b+2c\gamma)\zeta+(\alpha a+2\gamma b+2\beta c) \end{eqnarray}$ und damit hab ich dann $\begin{eqnarray} \begin{matrix}<br /> a\gamma+\alpha c+b\beta =0\\<br /> a\beta+\alpha b+2c\gamma =0\\<br /> \alpha a+2\gamma b+2\beta c=1<br /> \end{matrix} \end{eqnarray}$
02.11.2013, 15:48	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, und jetzt hat man ja ein stinknormales gleichungssystem mit 3 variablen, das man mit dem üblichen schema lösen kann. Ein einfacherer weg fällt mir gerade nicht ein... gruss ollie3
02.11.2013, 15:51	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
und dann komm ich auf rechne.. rechne.. $\begin{eqnarray} <br /> a =\frac{\alpha^2-2\beta\gamma}{\alpha^3-6\alpha\beta\gamma+2\beta^3+4\gamma^3}<br /> b =\frac{2\gamma^2-\alpha\beta}{\alpha^3-6\alpha\beta\gamma+2\beta^3+4\gamma^3}<br /> c=\frac{\beta^2-\alpha\gamma}{\alpha^3-6\alpha\beta\gamma+2\beta^3+4\gamma^3}<br /> \end{eqnarray}$ oder so

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