Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors

02.11.2013, 15:02

daniel22

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Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors

Meine Frage:
Hallo,

es gilt doch:

$\begin{eqnarray*} \vec{r}(t)=r(t)\cdot \vec{e_{r} }(t) \end{eqnarray*}$

Ich soll anhand dieser Zerlegung die Vektorkomponente des Geschwindigkeitsvektors $\begin{eqnarray*} \vec{v}(t) \end{eqnarray*}$ , die senkrecht zu $\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) \end{eqnarray*}$ steht, und diejenige, die parallel zu $\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) \end{eqnarray*}$ verläuft bestimmen.

Meine Ideen:
Soll das r(t) einfach der Betrag des Ortsvektors sein?

Und $\begin{eqnarray*} \vec{e_{r} }(t)=\frac{\vec{r}(t) }{|\vec{r}(t) | } \end{eqnarray*}$ ?

Wie soll ich das allgemein schreiben?
Das die erste Ableitung von $\begin{eqnarray*} \vec{r}(t) \end{eqnarray*}$ den Geschwindigkeitsvektor und die zweite Ableitung den Beschleunigungsvektor ergibt, ist mir klar.

02.11.2013, 15:13

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Zu deinen Fragen: ja.
Berechne erstmal v(t) als Vektor mit Hilfe von Produktregel ohne irgendwas einsetzen.

02.11.2013, 15:23

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
$\begin{eqnarray*} \frac{dr(t)}{dt}\cdot \vec{e_{r} }(t)+ r(t)\cdot \frac{\vec{e_{r} }(t) }{dt} \end{eqnarray*}$

Aber für r(t) könne ich dann auch schreiben: $\begin{eqnarray*} |\vec{r}(t) | \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 15:58

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Genau, jetzt kannst du dir die Projektion von v(t) auf r(t) anschauen.
$\begin{eqnarray*} (\vec v \cdot \hat e_r)\hat e_r \end{eqnarray*}$
Diese ist gerade die parallele Komponente von v(t) in Richtung von r(t).

02.11.2013, 16:00

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Und wie geht's weiter?

Muss ich den Geschwindigkeitsvektor nochmal ableiten für den Beschleunigungsvektor?

Muss ich da noch was beweisen, da in der Aufgabenstellung steht: Bestimmen sie die Vektorkomponente des Geschwinigkeitsvektor v(t), die senkrecht zu r(t) steht, und diejenige, die parallel zu r(t) verläuft.

Oder einfach nur nocheinmal ableiten?

02.11.2013, 16:04

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Ableiten muss du gar nichts, du muss v(t) jetzt in eine senkrechte und parallele Komponente zu r(t) zerlegen. Wie man die parallele Komponente bekommt, habe ich dir schon geschrieben, du muss dir nur überlegen, warum es der Fall ist. Da hilft auch eine Skizze.

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02.11.2013, 16:23

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Also ist der Geschwindigkeitsvektor die senkrechte Komponente, da sie tangential an die Raumkurve liegt.

Nun muss ich nur noch die parallel Komponente bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \vec{v_{p} }(t)= (\vec{v}(t)\cdot \vec{e_{r} }(t) )\cdot \vec{e_{r}}(t) \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 16:36

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors

Zitat:

Original von daniel22
Also ist der Geschwindigkeitsvektor die senkrechte Komponente, da sie tangential an die Raumkurve liegt.

Mhhh nein.
Du hast einen Ausdruck für die parallele Komponete, setze, dass was du für v(t) ausgerechnet hast, da rein und vereinfache das ganze.

02.11.2013, 16:51

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Habe hier einfach eingesetzt. Stimmt das?

Das ist dann aber immer noch die parallel Komponente.
Was ist dann mit der Senkrechten? Wie bekomme ich die?

02.11.2013, 17:46

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Nein du bringst Skalarprodukt und "gewöhnliche" Multiplikation durcheinander.
$\begin{eqnarray*} \vec v=\dot r \hat e_r + r \frac{d}{dt} \hat e_r \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} <br /> v_p = \vec v \cdot \hat e_r = (\dot r \hat e_r + r \frac{d}{dt} \hat e_r)\cdot \hat e_r = \dot r (\hat e_r \cdot \hat e_r) + r \left(\left(\frac{d}{dt} \hat e_r \right) \cdot \hat e_r\right)<br /> \end{eqnarray*}$

nun stellt sich die Frage, was sind

$\begin{eqnarray*} \hat e_r \cdot \hat e_r=? \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{d}{dt} \hat e_r\right) \cdot \hat e_r=? \end{eqnarray*}$

EDIT: v durch $\begin{eqnarray*} \dot r \end{eqnarray*}$ ersetzt, um eine mögliche die Verwirrung mit $\begin{eqnarray*} |\vec v| \end{eqnarray*}$ zu beseitigen.

02.11.2013, 17:59

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
vp soll dann der Betrag der Parallelkomponente sein, also kein Vektor?

Einheitsvektor mal Einheitsvektor =1

Beim Zweiten weis ich gerade nichts.

02.11.2013, 18:26

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Genau, der Betrag der Parallelkomponente. Was ist denn die Richtung der parallelen Komponente?

Wenn du beim 2. nicht weiss, dann berechne mal
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} (\hat e_r \cdot \hat e_r) \end{eqnarray*}$
ein mal explizit mit Produktregel und ein mal mit deiner Aussage, dass
$\begin{eqnarray*} \hat e_r \cdot \hat e_r = 1 \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 18:43

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\cdot (\vec{e_{r} }(t)\cdot \vec{e_{r} }(t))=\frac{d}{dt} \vec{e_{r} }(t)\cdot \vec{e_{r} }(t) + \vec{e_{r} }(t)\cdot \frac{d}{dt} \vec{e_{r} }(t) \end{eqnarray*}$

Und wenn ich nach 1 ableite kommt 0 heraus.

02.11.2013, 18:50

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Schlussfolgerung? Schaue dir doch deinen Ausdruck genauer an.

02.11.2013, 18:53

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
vp(t)=v(t) ?

Stimmt das?
Wie komme ich auf die senkrechte Komponente?

02.11.2013, 19:32

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Mit fällt gerade ein, dass es nicht sinnvoll ist $\begin{eqnarray*} \dot r \end{eqnarray*}$ als v zu bezeichnen, dann es ist nur die Ableitung einer Komponente und nicht der Betrag des gesamten Geschwindigkeitsvektors, also kann zu Verwirrung führen. Im Grunde hast du es raus
$\begin{eqnarray*} v_p = \dot r \end{eqnarray*}$
also
$\begin{eqnarray*} \vec v_p = \dot r \hat e_r \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec v_s \end{eqnarray*}$ zu finden ist sehr einfach, denn du zerlegst v in vp und vs
also
$\begin{eqnarray*} \vec v = \vec v_p + \vec v_s \end{eqnarray*}$
womit dann
$\begin{eqnarray*} \vec v_s = \vec v - \vec v_p \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 20:06

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Dann habe ich noch eine zweite Aufgabe, die dazu gehört:

Was ergibt sich für diese beiden Komponenten, wenn die Raumkurve
1) Ein Kreis ist
2) ein Strahl ist, der vom Ursprung weg zeigt.

zu 1)

$\begin{eqnarray*} \vec{v_{s} }=\vec{v} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec{v_{p} }=0 \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 20:18

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Überlege dir, wie $\begin{eqnarray*} \dot r \end{eqnarray*}$ bei einem Kreis aussieht? Was gilt für r bei einem Kreis?
Ausserdem ist in Polarkoordinaten:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \hat e_r = \hat e_\phi \end{eqnarray*}$
Damit solltest du kein Problem haben v(t) für einen Kreis zu schreiben.

02.11.2013, 20:20

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
vs(t) liegt immer tangential zum Kreis

02.11.2013, 20:57

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Für den Kreis habe ich das hinbekommen.

Habe x=r*cos(t) ; y=r*sin(t) gewählt und habe vp=Nullvektor und vs=v herausbekommen.

Aber was wähle ich für den Teil 2) Stahl x=? ; y=?
Ich brauche nur die Parameterfunktionen, den Rest kann ich alleine

02.11.2013, 20:57

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Für 2 ist
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt}\hat e_r = 0 \end{eqnarray*}$
weil die Richtung des Strahl kostant bleibt. Damit bleibt nur die parallele Komponente übrig.

02.11.2013, 21:09

daniel22

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Also als Strahl kann man einfach x=t ; y=t setzen

02.11.2013, 21:32

Rmn

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RE: Länge und Richtung eines zeitabhängigen Ortsvektors
Man kann, aber wozu willst du spezifische Aussagen machen, wenn du ohne Parametrisierung ganz allgemeun sagen kannst, wie es aussehen wird.

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