Basis einer Polynomkoeffizient

02.11.2013, 15:17	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
Basis einer Polynomkoeffizient Hallo hab ne Aufgabe, da komme ich nicht draus bzw nicht weiter... Aufgabe: Sei K ein Körper. Beweisen Sie, dass A= $\begin{eqnarray} {t^{i} \| \in \mathbb N} \end{eqnarray}$ eine Basis von K[t] ist. Ich weiss wie die Basis definiert ist: 1. $\begin{eqnarray} span({v_{i}})=V \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} {v_{i}} \end{eqnarray}$ ist linear unabhängig Ich habe mir überlegt, dass $\begin{eqnarray} K[t]=0=a_{0}t^{0}+a_{1}t+a_{2}t{2}+....+a_{n}t^{n} \end{eqnarray}$ damit es linear unabhängig ist müssen alle t gleich null sein aber 0 hoch 0 geht nicht. Hilfe bitte??
02.11.2013, 18:30	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast falsch überlegt. Damit $\begin{eqnarray} t^i \end{eqnarray}$ eine Basis ist, müssen die Koeffizienten $\begin{eqnarray} a_i \end{eqnarray}$ alle 0 sein. Übrigens ist $\begin{eqnarray} t^0=1 \end{eqnarray}$ auch für $\begin{eqnarray} t=0 \end{eqnarray}$ .
03.11.2013, 10:53	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ok. Aber im taschenrechner kommt mir error raus, wenn ich das eintippe. Egal Und wie muss ich beim span vorgehen???
03.11.2013, 11:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Taschenrechner versteht nichts von Mathematik, sonst hieße er Taschenmathematiker. Dass die nichtnegativen Potenzen der Unbestimmten eine Basis des Polynomrings K[t] sind, folgt sofort aus der Definition. Wie definierst du den Polynomring K[t] ?
03.11.2013, 14:02	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben mit K[t] so definiert: $\begin{eqnarray} f=a_{0}+a_{1}t+....+a_{n}t^{n} \end{eqnarray}$
03.11.2013, 14:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Was soll das sein ? Was ist t ?? Was passiert, wenn t³=1 ist ???
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03.11.2013, 14:32	TaA_9	Auf diesen Beitrag antworten »
so ist K[t] allgemein definiert. sonst nichts, haben auch nichts mehr gemacht...
03.11.2013, 18:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das glaube ich nicht. t ist ganz sicher als "Unbestimmte" definiert oder als "transzendent über K" (was t³=1 ausschließt). Besser ist die Definition $\begin{eqnarray} K[t]=\{(a_0,a_1,...)\|a_i\in K, a_i=0 \end{eqnarray}$ für fast alle $\begin{eqnarray} i \} \end{eqnarray}$ .

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