Abschätzen von Reihen (Vergleichsreihen)

02.11.2013, 16:45

0664jester

Abschätzen von Reihen (Vergleichsreihen)

Hallo leute,

ich sitze ihr vor folgenden Problem:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{n\sqrt[n]{n}} \end{eqnarray*}$

und ich möchte mittels Grenzwertkriteriums beweisen, dass diese Reihe divergiert (Vermutung).

1/n divergiert ja und n-te Wurzel aus n divergiert auch.

Damit ich die Vergleichsreihen aufstellen kann, muss ich oben genannte Reihe abschätzen.
ich hab da massive Probleme. kann mir bitte jemand helfen?

Lösungsansatz

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^{\frac{1}{n}} } \end{eqnarray*}$ könnte ja immer kleiner werden, deswegen schreibe ich nur 1/n

02.11.2013, 16:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von 0664jester
und n-te Wurzel aus n divergiert auch.

Was divergiert denn da?

------------------

Nutze das Minorantenkriterium, denn es lässt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}\leq 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abschätzen, damit ist

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{n\sqrt[n]{n}} \geq \frac{1}{2n} \end{eqnarray*}$ .

02.11.2013, 17:00

0664jester

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n-te wurzel hab ich da aufgeschnappt Seite 3

Korrektur: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 19:55

0664jester

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Kannst du bitte erörtern, wie du auf 2n kommst?

lg

02.11.2013, 20:54

HAL 9000

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Das steht doch in der Zeile drüber:

Zitat:

Original von HAL 9000
Nutze das Minorantenkriterium, denn es lässt sich $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}\leq 2 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abschätzen

.
Einfach mal die Sätze richtig durchlesen ("damit ist...").

03.11.2013, 07:19

0664jester

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die n-te wurzel =1 und deswegen nehme ich größer 2? weil das der nächste wert ist?

03.11.2013, 10:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von 0664jester
die n-te wurzel =1 und deswegen nehme ich größer 2?

In einem einigermaßen ordentlichen Satz könnte ich vielleicht auch verstehen, was du meinst - so aber nicht. unglücklich

03.11.2013, 12:38

0664jester

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Ich schätze nach unten ab, dass $\begin{eqnarray*} x_{k} > a_{k} \end{eqnarray*}$ .

Dadurch ich weiß $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ diviergiert, divergiert auch $\begin{eqnarray*} x_{k} \end{eqnarray*}$ .

03.11.2013, 12:43

HAL 9000

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Ja, das ist die inhaltliche Aussage des Minorantenkriteriums (abgesehen davon, dass du die Reihensymbolik $\begin{eqnarray*} \sum \ldots \end{eqnarray*}$ usw. weggelassen hast).

03.11.2013, 12:55

0664jester

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Zitat:

Original von 0664jester
n-te wurzel hab ich da aufgeschnappt Seite 3

Korrektur: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1 \end{eqnarray*}$

...

... dadurch kann man meinen, dass eine kleinere Vergleichsreihe brauche und 1/2n ist somit die kleinere Vergleichsreihe.

Korrekt?

Reicht, das als Beweis?

03.11.2013, 13:05

HAL 9000

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Ok, aus der bloßen Existenz des Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ kannst du folgern, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ beschränkt ist, also $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n}< K \end{eqnarray*}$ (ich habe dazu speziell Schranke K=2 angegeben), und dann greift eben das Minorantenkriterium.

Ich hoffe, du willst es nicht noch ausführlicher, denn langsam habe ich mein Pulver verschossen. Augenzwinkern

03.11.2013, 13:16

0664jester

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Mir reicht das.

Danke für die Hilfe. Augenzwinkern

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