Ableitungsregeln

02.11.2013, 18:13

AAAAAA

Ableitungsregeln

Hallo.
Wie löse ich folgende Gleichungen auf.. verwirrt

1) $\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x} }{4-7e^x} \end{eqnarray*}$
Lösung:

2) $\begin{eqnarray*} \frac{4-7e^x}{\sqrt{x} } \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{x} } \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} \frac{2}{4-7e^x} \end{eqnarray*}$

Im Grundkurs haben wir bislang nur die Kettenregel und Produktregel gelernt und die Quotientenregel habe ich mir gerade eben angeschaut, obwohl dies nicht im Kernlehrplan drin steht.
Nichtdestotrotz verstehe ich trotz Lösungen nicht wie man diese Funktionen auflöst.
Kann mir da jemand vielleicht helfen?

p.s keine HAs, alles Klausurvorbereitung

02.11.2013, 18:15

Gast11022013

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Das was du dort aufgeschrieben hast sind keine Gleichungen sondern Terme.
Du meinst du wohl Funktionen, welche du ableiten möchtest, oder?

Wie sieht denn für 1) dein eigener Ansatz aus?

02.11.2013, 18:29

AAAAAA

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$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{x} * -7e^x - 0,5x^(-0,5)*(4-7e^x)}{(4-7e^x)^2} \end{eqnarray*}$

Dies wiederspricht schon der Lösung von f(x)= \frac{7e^x*\sqrt{x} }{(4-7e^x)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x} (4-7e^x)}

02.11.2013, 18:38

Gast11022013

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{\sqrt{x}}{4-7e^x} \end{eqnarray*}$

Du wendest hier nun die Quotientenregel an. Wenn ihr die im Unterricht nicht gemacht habt, dann könntest du auch mit der Produktregel arbeiten indem du es umschreibst zu:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\sqrt{x}(4-7e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Dies wiederspricht schon der Lösung von $\begin{eqnarray*} f(x)= \frac{7e^x*\sqrt{x} }{(4-7e^x)^2} + \frac{1}{2\sqrt{x} (4-7e^x)} \end{eqnarray*}$

Die Quotientenregel lautet ja wie folgt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{u}{v} f '(x)=\frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2} \end{eqnarray*}$

Du hast es hier so gesehen umgedreht, weshalb bei dir ein Vorzeichenfehler entsteht.

Du hast es also so angewendet:

$\begin{eqnarray*} f '(x)=\frac{-u\cdot v'+u'\cdot v}{v^2} \end{eqnarray*}$

Achtest dabei aber nicht darauf auch die Vorzeichen anzupassen.

Die Lösung gibt dann die Ableitung etwas "gekürzt" an, indem man den Bruch auseinanderzieht. Ich würde sagen, dass das nicht unbedingt notwendig ist. Vor allem weil ich auch finde, dass es dadurch eher unschöner wird.

Bis auf diesen Dreher bei den Vorzeichen passt es also.

02.11.2013, 18:56

AAAAAA

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Quotientenregel:
x^0,5 *(7e^x)0,5*x^-0,5 * (4-7e^x)
(7e^x)*(x^0,5)+(2x^-0,5)+(3,5x^-0,5)*e^x

Quotientenregel:
$\begin{eqnarray*} \frac{0,5*x^{-0,5} *(4-7e^x)-x^{-0,5}*-7e^x}{(4-7e^x)^2} \end{eqnarray*}$

So richtig?

02.11.2013, 19:02

Gast11022013

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Bei deiner ersten Rechnung weiß ich nicht in welchem Zusammenhang die steht.

Zu dem zweiten was du aufgeschrieben hast:

Nein, so stimmt das nicht ganz, könnte aber auch ein Tippfehler sein.

In diesem Teil steckt ein Fehler:

$\begin{eqnarray*} -x^{-0.5}\cdot -7e^x \end{eqnarray*}$

hier könntest du auch noch etwas zusammenfassen. Beachte die Potenz von x.

02.11.2013, 19:06

AAAAAA

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Ach, die erste Rechnung sollte die Produktregel sein.
Zum Fehler: In der Potenz von x steht nur 0,5. Tippfehler.

02.11.2013, 19:12

Gast11022013

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Jup.

Das ganze wäre dann also:

$\begin{eqnarray*} 7x^{0.5}e^x \end{eqnarray*}$

Wie du die Produktregel anwendest verstehe ich nicht so ganz. Du vergisst da scheinbar auch einige Rechenzeichen. Könntest du das nochmal ordentlicher aufschreiben?

02.11.2013, 19:20

AAAAAA

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So sähe meine Funktion nach der Produktregel aus.
$\begin{eqnarray*} x^{0,5}*(-7e)^x+0,5*x^{-0,5}*(4-7e^x) =-7e^x*x^{0,5}+2x^{-0,5}+3,5x^{-0,5} -7e^x \end{eqnarray*}$

02.11.2013, 19:26

Gast11022013

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Du benötigst hier einen Mix aus Produkt und Kettenregel. Wie du dies anwendest ist leider nicht zu erkennen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=u\cdot v f '(x)=u'\cdot v+u\cdot v' \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{0.5}(4-7e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=x^{0.5} v=(4-7e^x)^{-1} \end{eqnarray*}$

Bestimme $\begin{eqnarray*} u' \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v' \end{eqnarray*}$

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