Uneigentliches Interal mit Potenzreihenentwicklung

02.11.2013, 18:43	TheoTiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Uneigentliches Interal mit Potenzreihenentwicklung Meine Frage: Hi! Ich soll das uneigentliche Integral $\begin{eqnarray} \int_0^{0.1} \! \frac{e^{2x}-1}{x} \, dx \end{eqnarray}$ mit Hilfe der Pozenzreihenentwicklung auf 4 Stellen nach dem Komma genau bestimmen. Meine Ideen: Nunja, ich würde einfach die 4 ersten Glieder der Potenzreihe nehmen(lt. Übung entspricht das eben der Genauigkeit auf die 4. Stelle nach dem Komma). Dummerweise habe ich keine Ahnung, wie ich auf die Potenzreihe kommen soll. Die Formeln für die Entwicklung einer Potenzreihe beginnen alle mit $\begin{eqnarray} a_{0} = f(0) \end{eqnarray}$ . Da durch x geteilt wird geht das nicht. Gibts da irgendwelche Besonderheiten, weil das Integral uneigentlich ist? Habe um ehrlich zu sein noch nicht wirklich verstanden, was es damit auf sich hat - der Begriff wurde auch in der Vorlesung nicht ein mal erwähnt. Wär nett wenn mir jemand das allgemeine Vorgehen in diesem Fall erklären könnte, gerne an einer anderen Aufgabe.
02.11.2013, 19:12	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Uneigentliches Interal mit Potenzreihenentwicklung Wie heißt die Reihe für $\begin{eqnarray} e^{x} \end{eqnarray}$ Schauh bitte in das Tafelwerk, das gibt es bereits alles schon. Substituiere zuerst $\begin{eqnarray} z= 2x \end{eqnarray}$ Schreibe das Ganze für $\begin{eqnarray} e^{z} \end{eqnarray}$ auf und resubstituiere anschließend. Wenn Du das hast , subtrahiere -1 und teile durch x und kannst dann normal integrieren Was erhälst Du? Achtung : Da der Integrand an der unteren Grenze nicht definiert ist , muß dann noch der Grenzwert gebildet werden. (z--> 0) PS: Wissenswertes zum Thema Uneigentliches Integral: http://de.wikipedia.org/wiki/Uneigentliches_Integral Wissenswertes zum Thema Potenzreihe: http://de.wikipedia.org/wiki/Potenzreihe
03.11.2013, 18:03	TheoTiger	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank, hat geklappt. Mein Ergebnis ist 0,2104, laut Wolfram Alpha stimmt das. Allerdings musste ich gar keinen Grenzwert berechnen, was du damit meinst verstehe ich nicht so ganz. Muss man das nicht nur, wenn eine der Intervallgrenzen unbestimmt ist(also x meinetwegen)? Oder hab' ich jetzt nur ein normales Integral und kein uneigentliches ausgerechnet?
03.11.2013, 21:57	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja der Wert stimmt. Da der Integrand an der unteren Grenze nicht definiert ist , muß dann noch der Grenzwert gebildet werden. (z--> 0) das bedeutet: $\begin{eqnarray} =\lim_{z \to 0} \int_z^\frac{1}{10} \! \frac{e^{2x}-1 }{x} \, dx \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{z \to 0} \left[ 2x +x^2 +\frac{4}{9}x^3 +\frac{1}{6}x^4 \right]_{z}^{0.1} \end{eqnarray}$ ja auf die Rechnung hat es keinen Einfluss.

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