Potenzmenge

02.11.2013, 19:48

Kimyaci

Potenzmenge

Aufgabe: "Bestimmen Sie alle Elemente und die Mächtigkeit der Menge Y."

$\begin{eqnarray*} Y = P(\left\{a,b,c,d\right\}) \end{eqnarray*}$

Ein altdeutsches P habe ich gerade mit Latex nicht hinbekommen - das soll die Potenzmenge darstellen.

Wenn ich das richtig verstanden habe wäre das doch

$\begin{eqnarray*} Y = \left\{ \emptyset , \left\{ a \right\}, \left\{ b \right\}, \left\{ c \right\}, \left\{ d \right\}, \left\{ a,b \right\} \left\{ a,c \right\}, \left\{ a,d \right\}, \left\{ b,c \right\}, \left\{ b,d \right\}, \left\{ c,d \right\}, \left\{ a,b,c \right\} , \left\{ a,b,d \right\}, \left\{ a,c,d \right\}, \left\{ b,c,d \right\}, \left\{ a,b,c,d \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Und außerdem

$\begin{eqnarray*} | Y | = 16 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

02.11.2013, 19:50

jimmyt

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Ja.

02.11.2013, 19:54

Kimyaci

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Ok dann noch kurz;

$\begin{eqnarray*} P(\left\{ \emptyset \right\}) \end{eqnarray*}$

Also die Potenzmenge der Menge der leeren Menge. Wäre das:

$\begin{eqnarray*} P(\left\{ \emptyset \right\}) = \left\{ \emptyset, \left\{ \emptyset \right\} \right\} \end{eqnarray*}$

?

02.11.2013, 21:45

jimmyt

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Gute Frage. Die leere Menge ist die einzige Menge mit der Mächtigkeit 0.
In diesem Fall haben wir aber eine Menge mit einem Element, nämlich der leeren Menge.
Deswegen:

(1) $\begin{eqnarray*} P( \varnothing) = \{ \varnothing\} \end{eqnarray*}$
(2) $\begin{eqnarray*} P( \{\varnothing\}) = \{ \varnothing, \{ \varnothing\} \} \end{eqnarray*}$

Die Ausgangsmenge der Potenzmenge von (1) ist die elementlose Menge. Also muss die Potenzmenge die Mächtigkeit $\begin{eqnarray*} 2^0=1 \end{eqnarray*}$ haben. Da bleibt nur die leere Menge übrig.
Bei (2) haben wir eine Menge mit einem Element, nämlich die leere Menge, wodurch die Mächtigkeit der Potenzmenge $\begin{eqnarray*} 2^1=2 \end{eqnarray*}$ sein muss.
Als zweite Teilmenge bleibt nur die leere Menge übrig.

Aber ohne Garantie, ich antworte nur, weil du mich gefragt hast.
Hättest du die Frage in einem anderen Thread gestellt hätte ich wahrs. nicht geantwortet, weil ich mir auch nicht zu 100 Prozent sicher bin. smile

03.11.2013, 12:50

Kimyaci

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Das einzige was ich nicht ganz nachvollziehen kann...

...wie kommst du auf $\begin{eqnarray*} 2^0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2^1 \end{eqnarray*}$ ? Sehe ich das erste Mal in Bezug auf Mächtigkeiten.

Edit: Ist das für Potenzmengen einfach $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ , mit n = Anzahl der Elemente?

03.11.2013, 14:55

jimmyt

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Zitat:

Original von Kimyaci
...
Edit: Ist das für Potenzmengen einfach $\begin{eqnarray*} 2^n \end{eqnarray*}$ , mit n = Anzahl der Elemente?

Ja, genau so ist es.
Und hier wird das sogar bestätigt, was ich dir gepostet habe. smile