Extremwertproblem mit Flächen

03.11.2013, 13:03

palim.palim

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Extremwertproblem mit Flächen

Hallo,

wir schreiben morgen eine Klausur und bei einer Übungsaufgabe stehe ich total auf dem Schlauch. Leider haben wir keine Lösungen zu den Aufgaben bekommen, mit denen man sich die Antwort herleiten könnte. Daher meine Frage.

Die Aufgabenstellung lautet:
Die Punkte O(0/0), P(5/0), Q(5/2,75), S(0/4) und R(u/f(u)) des Graphen von f mit $\begin{eqnarray*} f(x)=-0,05x^3+x+4 ; 0\leq x\leq 5 \end{eqnarray*}$ bilden ein Fünfeck.
Für welches u wird sein Inhalt maximal?

Hier habe ich eine Skizze gezeichnet. (Ist leider unscharf geworden, hoffentlich kann man es dennoch erkennen) [attach]31964[/attach]

Mein Problem ist, dass ich die Extrembedingung nicht formuliert bekomme. Meine Idee war, das Fünfeck zu zerschneiden, damit ich ein Vier- und zwei Dreiecke bekomme und dann nur das Dreieck mit dem Punkt R zu betrachten; aber auch da komme ich nicht weiter.

Danke schonmal für eure Hilfe.

03.11.2013, 13:54

sulo

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RE: Extremwertproblem mit Flächen
Ich würde die Fläche zunächst so zerlegen:

[attach]31965[/attach]

Der grüne Bereich ist festgelegt, du musst also "nur" den gelben Bereich maximieren.
Weiterhin muss für den gelben Bereich eine Möglichkeit gefunden werden, mit Hilfe der gegebenen Werte den Flächeninhalt zu bestimmen.

Ich denke da an ein Trapez und zwei Dreiecke...

smile

smile

03.11.2013, 15:59

palim.palim

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Huhu,

danke für deine Antwort.
Soetwas in der Richtung hatte ich auch überlegt, allerdings war ich mir nicht sicher, ob das ok ist, da ich ja nicht weiß, ob das Dreick rechtwinklig ist.

Ich würde unten ein Quadrat mit den Punkten O(0/0), P(5/0), Q(5/2,75) und B(0/2,75) einzeichnen. Darüber würde ich ein Dreieck aus B(0/2,75), Q und S(0/4) einzeichnen. Die Seiten a und b habe ich dann ja gegeben ( a=1,25; b=5) und c kann ich mit dem Satz des Pythagoras berechnen. $\begin{eqnarray*} c=\sqrt{a^2+b^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow d=\sqrt{1.25^2+5^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = d=\frac{5*\sqrt{17} }{4} \end{eqnarray*}$

d ist dann auch in dem dritten Dreieck aus den Punkten S, Q und dem gesuchten R enthalten.
Der Flächeninhalt des Dreiecks soll ja maximal werden, also wäre meine Extrembedingung $\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*\frac{5*\sqrt{17} }{4}*h \end{eqnarray*}$ .

Aber wie soll ich weitermachen? Die Höhe h ist ja nicht gleich f(u)?!
In die Nebenbedingung muss noch die Funktionsgleichung eingebaut werden. Aber irgendwie finde ich keine Variable in der Funktionsgleichung, die auch in meiner Formel für den Flächeninhalt vorkommt..

03.11.2013, 16:06

sulo

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Und die Höhe in dem von dir beschriebenen Dreieck ist auch nicht so ohne weiteres aus unseren Angaben bestimmbar.

Meine Idee sah so aus:
[attach]31967[/attach]
Wir können den Flächeninhalt des roten Trapezes in Abhängigkeit von f(u) bestimmen.
Die Flächeninhalte der Dreiecke kann man in Abhängigkeit von f(u) und u bestimmen.

Wenn wir letzeres von ersterem abziehen, haben wir die Fläche des zu maximierenden Dreiecks.

Versuche einmal, die Funktionsgleichung (also eine Gleichung für den Flächeninhalt des Dreiecks) aufzustellen.

smile

smile

03.11.2013, 16:31

palim.palim

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Uff..

Ähm, den Flächeninhalt des Trapezes würde ich so berechnen:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*\left[\left(f(u)-4\right)+ \left(f(u)-2,75\right) \right] *5 \end{eqnarray*}$

Flächeninhalt des blauen Dreiecks:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*\left(f(u)-4\right) *u \end{eqnarray*}$

Flächeninhalt des rosa Dreiecks:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*\left(f(u)-2.75\right) *\left(5-u\right) \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Flächeninhalte beider Dreiecke addiere, bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*u*f(u)-1,5u+0,5f(u)+1,125 \end{eqnarray*}$

Und nun den Flächeninhalt des Trapezes von dem beider Dreiecke abziehen:
Erstmal habe ich die Klammern beim Trapez gelöst, da habe ich $\begin{eqnarray*} A=5f(u)-16,25 \end{eqnarray*}$ bekommen.
Nun addieren:
$\begin{eqnarray*} A=\left[5*f(u)-16,25\right] - \left[0,5*u*f(u)-1,5*u+0,5f(u)+1,125\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} A=-0,5*u*f(u)+4,5*f(u)+1,5*u-17,375 \end{eqnarray*}$

Ist das richtig soweit?
Wäre das meine Formel für den Flächeninhalt des Dreiecks?
Wenn ja, könnte ich nun f(u) durch die Funktionsgleichung ersetzen und hätte meine Funktion, die ich auf Extremstellen untersuchen kann.

03.11.2013, 16:40

sulo

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Zitat:

Original von palim.palim
Uff..

Ähm, den Flächeninhalt des Trapezes würde ich so berechnen:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*\left[\left(f(u)-4\right)+ \left(f(u)-2,75\right) \right] *5 \end{eqnarray*}$

Flächeninhalt des blauen Dreiecks:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*\left(f(u)-4\right) *u \end{eqnarray*}$

Flächeninhalt des rosa Dreiecks:
$\begin{eqnarray*} A=\frac{1}{2}*\left(f(u)-2.75\right) *\left(5-u\right) \end{eqnarray*}$

Soweit ist alles richtig. Freude

Freude

Ich nehme an, du hast beim Ausmultiplizieren der Klammern beim lila (rosa?) Dreieck einen Fehler gemacht, denn die Summe der Dreiecksflächen stimmt nicht mehr.

smile

smile

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03.11.2013, 16:58

palim.palim

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Ups, danke. smile

smile

Blau plus lila:
$\begin{eqnarray*} A=-0,625u+2,5*f(u)-6,875 \end{eqnarray*}$

Trapez minus beide Dreiecke:
$\begin{eqnarray*} A=-2,5f(u)+0,625u-9,375 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?
Kann ich nun (durch die Nebenbedingung) f(u) durch die Funktion $\begin{eqnarray*} -0,05u^3+u+4 \end{eqnarray*}$ ersetzen?

03.11.2013, 17:06

riwe

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alternativen:
a) HNF
b) man suche eine parallele tangente Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2013, 17:09

sulo

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Zitat:

Original von palim.palim
Blau plus lila:
$\begin{eqnarray*} A=-0,625u+2,5*f(u)-6,875 \end{eqnarray*}$

Freude

Zitat:

Trapez minus beide Dreiecke:
$\begin{eqnarray*} A=-2,5f(u)+0,625u-9,375 \end{eqnarray*}$

Vermutlich stimmt die Gleichung für die Trapezfläche noch nicht. verwirrt

verwirrt

Zitat:

Original von palim.palim
Kann ich nun (durch die Nebenbedingung) f(u) durch die Funktion $\begin{eqnarray*} -0,05u^3+u+4 \end{eqnarray*}$ ersetzen?

Ja, das muss gemacht werden Freude

Freude

- wenn alles richtig aufgestellt ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2013, 17:16

palim.palim

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@riwe: Hast du die Tangente an dem Maximum der angegebenen Funktion gezeichnet oder wie hast du sie parallel bekommen? Denn parallel werden die beiden ja dadurch, dass man die gleiche Steigung nimmt. Aber welchen anderen Punkt hast du genommen?

@solu:
Hm, also wenn ich das Trapez minus das Dreieck rechne, setze ich beides in Klammern. Vor der Dreiecksklammer steht dann ein minus, daher vertausche ich alle Vorzeichen in der Klammer und fasse dann zusammen.. Ist das nicht richtig?
Ich schreibe mal ganz genau auf, was ich gemacht habe:
$\begin{eqnarray*} A=\left[5*f(u)-16,25\right] - \left[ -0,625u+2,5*f(u)-6,875\right] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A=5*f(u)-16,25+0,625u-2,5*f(u)+6,875 \end{eqnarray*}$

Oh, ein Minus hatte ich falsch, aber sonst bekomme ich zusammengefasst:
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow A=2,5f(u)+0,625u-9,375 \end{eqnarray*}$

03.11.2013, 17:33

sulo

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Wie kommst du auf die -16,25 bei der Trapezfläche? verwirrt

verwirrt

@riwe
Sehr hübsch. Freude

Freude

03.11.2013, 17:40

palim.palim

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Oh, man, 'Tschuldigung. Irgendwie ist grade der Wurm drin. Es muss eigentlich -16,875 heissen. Hammer

Hammer

Ich hoffe, dass es jetzt endlich richtig ist.. Tur mir echt Leid.
Trapez minus Dreiecke:
$\begin{eqnarray*} A=2,5f(u)+0,625u-10 \end{eqnarray*}$

03.11.2013, 17:41

sulo

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Richtig.

Freude

Jetzt kann f(u) ersetzt werden.

smile

smile

03.11.2013, 17:55

palim.palim

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Danke dir.

Wenn ich für f(u) $\begin{eqnarray*} -0,05u^3+u+4 \end{eqnarray*}$ einsetze und löse, bekomme ich: $\begin{eqnarray*} A(u)=-0,125u^3+3,125u ; 0\leq u\leq 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A'(u)=0 \Rightarrow -0,375u^2+3,125=0 \Rightarrow u=\frac{5\sqrt{3} }{3} oder u=-\frac{5\sqrt{3} }{3} \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} u=-\frac{5\sqrt{3} }{3}\neq \end{eqnarray*}$ Df

$\begin{eqnarray*} A''(u=\frac{5\sqrt{3} }{3})=-\frac{5\sqrt{3} }{4} \end{eqnarray*}$ ->lok.Max.

Die Randwertuntersuchung hat ergeben, dass keine Randextrema vorliegen.

Also wird der Inhalt der Figur maximal, wenn der Punkt R( $\begin{eqnarray*} u=\frac{5\sqrt{3} }{3} \end{eqnarray*}$ /~5,684) lautet.

Stimmt das so?

03.11.2013, 17:59

sulo

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Respekt

Keine Einwände. Freude

Freude

PS: Es hätte gereicht, u auszurechen, die Koordinaten des Punktes R waren nicht gefragt.
Aber es kann nicht schaden, das du f(u) zu Übungszwecken noch ermittelt hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.11.2013, 18:02

palim.palim

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Vielen Dank für deine Hilfe, jetzt weiß ich auch, wie man solche Aufgaben mit Flächenextrema löst. Freude

Freude

Jetzt kann die Klausur ja kommen.

Ahh, stimmt, das habe ich gar nicht mehr beachtet.

Nochmals vielen Dank und dir noch einen schönen Abend. smile

smile

03.11.2013, 18:03

sulo

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Viel Erfolg bei der Klausur. Freude

Freude

Dir auch noch einen schönen Abend. Wink

Wink

03.11.2013, 18:04

palim.palim

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Dankeschön. smile

smile

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