Körperaxiome beweisen

03.11.2013, 13:12

Lynn2

Körperaxiome beweisen

Meine Frage:
Huhu. smile

Ich soll für folgende Aussage die Körperaxiome beweisen.

$\begin{eqnarray*} \left(x,y\right) \oplus \left(u,v\right) := \left(x+u,y+v\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wenn ich jetzt erstmal anfange die Assoziativität nachzuweisen muss ich ja im Allgemeinen zeigen, dass gilt: $\begin{eqnarray*} x + (y+z) = (x+y) + z \end{eqnarray*}$

Doch wie wende ich das nun auf meine gegebene Gleichung an?

03.11.2013, 13:19

Jolly Roger

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Zu Fuß die Körperaxiome nachrechnen geht.
also $\begin{eqnarray*} (x,y) \oplus ((u,v)\oplus (\alpha,\beta)) \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} ((x,y) \oplus (u,v))\oplus (\alpha,\beta) \end{eqnarray*}$
ausrechnen

03.11.2013, 13:29

Lynn2

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So simple? Ich dachte, ich darf dies nur mit den 4 vorgegebenen Variablen berechen!

Und was meinst du mit ausrechnen?

03.11.2013, 13:33

Jolly Roger

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naja du hast ja da eine Definition einer 'Funktion' in Zeichen $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \oplus : \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ und da würde ich mal einfach die Definition anwenden
z.B. ist $\begin{eqnarray*} (2,3)\oplus (1,0) = (2+1,3+0) = (3,3) \end{eqnarray*}$

03.11.2013, 13:53

Lynn2

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Aber damit zeigt man doch nicht die Assoziativität.

03.11.2013, 17:49

Mulder

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Zitat:

Original von Lynn2
Aber damit zeigt man doch nicht die Assoziativität.

Nein, die zeigst du, indem du

$\begin{eqnarray*} (x,y) \oplus ((u,v)\oplus (\alpha,\beta)) = ((x,y) \oplus (u,v))\oplus (\alpha,\beta) \end{eqnarray*}$

eben für beliebige x,y,u,v,a,b verifizierst. Das hatte dir Jolly Roger oben ja schon vorgeschlagen.

Es ist wirklich nur stumpfes Einsetzen und dann halt gucken, ob auf beiden Seiten das Gleiche rauskommt oder nicht.

Nebenbei: Die Aufgabenstellung ist offenbar sehr unvollständig wiedergegeben worden. Da steht eine einzelne Verknüpfung, sonst nichts. Man weiß nicht, woher x,y,u und v sein sollen, ob es noch eine zweite Verkknüpfung gibt (die man für einen Körper nunmal braucht), usw.

03.11.2013, 17:52

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} (x,y) \oplus ((u,v)\oplus (\alpha,\beta)) = ((x,y) \oplus (u,v))\oplus (\alpha,\beta) \end{eqnarray*}$

Reciht das als Lösung oder muss ich da nun noch Beispiele einsetzen?

03.11.2013, 17:55

Mulder

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Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} (x,y) \oplus ((u,v)\oplus (\alpha,\beta)) = ((x,y) \oplus (u,v))\oplus (\alpha,\beta) \end{eqnarray*}$

Reciht das als Lösung oder muss ich da nun noch Beispiele einsetzen?

Weder noch. Das ist keine "Lösung" weil du da ja überhaupt nichts gemacht hast. Und Beispiele taugen für einen allgemeinen Beweis auch nichts.

Oben hast du doch gegeben, was die Verknüpfung macht:

$\begin{eqnarray*} \left(x,y\right) \oplus \left(u,v\right) := \left(x+u,y+v\right) \end{eqnarray*}$

Das musst du natürlich auch benutzen!

03.11.2013, 18:00

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} (x,y) \oplus ((u,v)\oplus (a,b)) =(x,y) \oplus (u+a,v+b)= (u+a+y,v+b+y) \end{eqnarray*}$

So meinst du?

03.11.2013, 18:10

Mulder

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Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} (x,y) \oplus ((u,v)\oplus (a,b)) =(x,y) \oplus (u+a,v+b)= (u+a+\color{red}y\color{black},v+b+y) \end{eqnarray*}$

So meinst du?

Abgesehen von dem Tippfehler (das muss x heißen an der Stelle) meine ich das, ja.

03.11.2013, 18:20

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} x+e=x, wobei e = 0 \end{eqnarray*}$
Reicht dies um zuzeigen, dass ein neutrales Element gibt?

03.11.2013, 18:28

Mulder

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Zitat:

Original von Mulder
Nebenbei: Die Aufgabenstellung ist offenbar sehr unvollständig wiedergegeben worden. Da steht eine einzelne Verknüpfung, sonst nichts. Man weiß nicht, woher x,y,u und v sein sollen, ob es noch eine zweite Verkknüpfung gibt (die man für einen Körper nunmal braucht), usw.

Ich bin jetzt eh erstmal weg, würde dir aber raten, die Aufgabe mal bitte vollständig wiederzugeben.

e=0 kann kein neutrales Element sein, 0 ist nur eine einzelne Zahl, wir arbeiten hier aber mit Paaren von Elementen (vermutlich Zahlen, aber wie gesagt, ich weiß von gar nichts).

03.11.2013, 18:43

Lynn2

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Die zweite Verknüpfung ist genau das gleiche nur mit *.

03.11.2013, 22:39

Jolly Roger

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Zitat:

Original von Lynn2
$\begin{eqnarray*} (x,y) \oplus ((u,v)\oplus (a,b)) =(x,y) \oplus (u+a,v+b)= (u+a+y,v+b+y) \end{eqnarray*}$

So meinst du?

also ich schreibs mal so
$\begin{eqnarray*} (x,y) \oplus ((u,v)\oplus (a,b)) =(x,y) \oplus (u+a,v+b)= (x+(u+a),y+(v+b)) \end{eqnarray*}$
und da kannst du dann die Assoziativiät der, ich nehme mal an, Reellen Zahlen benutzen,
und wie gehts dann weiter um auf $\begin{eqnarray*} ((x,y) \oplus (u,v))\oplus (a,b) \end{eqnarray*}$ zu kommen?

Nebenbei bemerkt, du hast hier eine Definition für eine Addition $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ und eine Multiplikation $\begin{eqnarray*} \odot \end{eqnarray*}$ bekommen und sollst wohl alle!? Körperaxiome nachweisen, sei hierzu nochmals auf hier verwiesen.

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