Menge der Abbildungen

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Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
Menge der Abbildungen
Meine Frage:
Wann ist die Menge der Abbildungen von einer Menge M nach R mit der Addition und der Multiplikation ein Körper?

Meine Ideen:
Lässt die Frage sich ganz einfach beantworten, indem ich hinschreibe, dass die Assoziativität und die Distributivität gelten muss, sowie eine Inverse als auch ein neutrales Element vorhanden sein muss?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Zitat:
Original von Lynn2
Lässt die Frage sich ganz einfach beantworten, indem ich hinschreibe, dass die Assoziativität und die Distributivität gelten muss, sowie eine Inverse als auch ein neutrales Element vorhanden sein muss?

Ja, gut... Eine Menge ist ein Körper, falls sie die Körperaxiome erfüllt. Geht auch etwas konkreter auf diesen Fall bezogen Augenzwinkern

Wie könnte denn ein "neutrales Element" aussehen? Was für ein neutrales Element meinst du überhaupt?
Und dann: Unter welchen Bedingungen an existiert "eine Inverse"? Und hier musst du noch viel genauer sagen, was du damit meinst.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Für die Addition müsste gelten:
    Assoziativität:
    Distributivität:
    neutrales Element von f, g und m ist Null
    Inverse von f = (-f), g = (-g) und m = (-m)
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Zitat:
Original von Lynn2
Assoziativität:

Was sind denn , und ? Du solltest die Variablen definieren, bevor du sie benutzt.
Dann sollte dir auch auffallen, was an obiger Gleichung nicht stimmen kann.

Zitat:
Distributivität:

Durch die Gleichung definiert man . Mit Distributivität hat das nichts zu tun.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Nun gilt das Distributivgesetz?

Ich weiß nicht, wie ich das definieren soll! unglücklich
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Wenn du eine Gleichung aufschreibst, in der , und auftauchen, solltest du auch sagen können, wofür diese Buchstaben stehen.
 
 
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Jetzt nochmal für mein Verständnis:

Wie kann ich hier die Assoziativität bei der Addition nachweisen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Halten wir uns ans Alphabet! Das ist zwar für die Aufgabe nicht wirklich wichtig. Trotzdem erleichtern einem solch suggestive Bezeichnungen die Arbeit. Ich nenne also die Funktionen . Du hast somit



nachzuweisen. Links und rechts vom Gleichheitszeichen stehen Funktionen. Wann sind nun zwei Funktionen gleich? Wenn sie erstens dieselbe Definitionsmenge und zweitens dieselbe Zielmenge besitzen (das ist hier klar: Definitionsmenge ist jeweils und Zielmenge ) und wenn sie drittens - das Wichtigste! - auf jedem der Definitionsmenge dieselbe Wirkung haben. Du mußt mithin nachweisen:

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Ganz langsam... Wie ist denn überhaupt die Addition definiert? Welche Menge soll ein Körper sein, wie sehen die Elemente darin aus? Wie ist die Addition auf dieser Menge definiert?
Und dann: Was gilt es für die Assoziativität überhaupt zu überprüfen?
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen

Ich weiß nicht, wie die Elemente daran aussehen. (in der Menge) Darüber ist nichts gegeben in der Aufgabe.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Dann lies dir mal den ersten Satz durch:
Zitat:
Original von Lynn2
Wann ist die Menge der Abbildungen von einer Menge M nach R [...]


Edit: Ich ziehe mich hier dann mal zurück, bevor es zu sehr durcheinander geht.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Zitat:
Original von Lynn2
Ich weiß nicht, wie die Elemente daran aussehen. (in der Menge)


Das ist für die Lösung auch nicht wichtig. Jetzt beginne mit



und forme das gemäß der Definition der Addition, wie du sie soeben zitiert hast, für um.


@ Che

Ich hatte es so verstanden, daß der Fragestellerin die Natur der nicht klar ist.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Menge der Abbildungen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

und so weiter sind FUNKTIONEN. Und zum Beispiel ist die Funktionsanwendung der Funktion auf (lies: "f plus g von x"). Mit Multiplizieren hat das nichts zu tun.
Vorhin hast du gesagt, du wüßtest nichts über die Elemente . Und genau so ist es: MAN WEISS DARÜBER NICHTS! NICHTS! GAR NICHTS! Insbesondere ist eine wie auch immer geartete Multiplikation mit Elementen von DENKUNMÖGLICH. Man weiß nichts über die Natur der Elemente von . Vielleicht sind die Zahlen, vielleicht aber auch geometrische Figuren oder Ereignisse eines Wahrscheinlichkeitsraumes oder ... oder ...
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay.

Und was bedeutet dies jetzt auf meine Aufgabe bezogen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube, wir müssen ganz an den Anfang zurück. Wir machen ein Beispiel. Dazu nehmen wir eine dreielementige Menge



Und jetzt betrachten wir zwei Abbildungen vom Typ . Die Abbildungen nennen wir und und legen sie mittels einer Wertetabelle fest:





Jetzt bestimme .
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

(f+g) (Dreieck) = 1
(f+g) (Viereck) = Wurzel 2
(f+g) (Stern) = 2
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es. Und für den Rest der Aufgabe gut merken: Die Elemente kann man addieren, multiplizieren und so weiter, denn sie sind reelle Zahlen. Mit den Elementen geht das aber nicht.

Jetzt kommt noch eine dritte Funktion ins Spiel. Denk dir selber eine aus.

1. Wenn du nun bestimmen sollst, mußt du aus der Wertetabelle für , die du soeben bestimmt hast, und der von die Wertetabelle von erstellen.

2. Und bei mußt du zuerst aus den Wertetabellen von und die Wertetabelle von erstellen. Anschließend mußt du aus der Wertetabelle von und der gerade zuvor erstellten von die Wertetabelle von erstellen.

Und wenn nun die Wertetabellen am Ende von 1. und am Ende von 2. übereinstimmen, dann hast du für die drei konkreten Funktionen gezeigt:



Jetzt sollst du das aber nicht für drei konkrete Funktionen , sondern für drei beliebige Funktionen , und auch nicht für die konkrete Menge mit den drei Figuren, sondern für eine irgendwie vorgegebene Menge zeigen.

Ich hoffe, das Problem ist dir jetzt klarer geworden.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, das habe ich jetzt verstanden. Danke!
Nun weiß ich immerhin schon, was die Aufgabe bedeuten soll.

Und wie kann ich die Aufgabe nun am besten beantworten?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Menge der Abbildungen
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »



Dadurch zeigt man die Assoziativität?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich nicht, indem man das nur hinschreibt, sondern dadurch, daß man es beweist.
Man fängt links an und formt gemäß der Definition von und den Axiomen der reellen Zahlen um, bis sich die rechte Seite ergibt.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke. Das habe ich gemacht.

Wie kann ich nun die Existenz eines neutralen Elementes nachweisen?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lynn2
Alles klar, danke. Das habe ich gemacht.


Schreibe einmal deine Lösung hin.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie beweise ich das nun mit dem neutralen Element?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst einmal stimmt der Beweis. Freude
Du solltest ihn mit einer Formulierung der Art "Da und auf allen übereinstimmen, sind sie als Funktionen gleich: " abschließen.

Zitat:
Original von Lynn2
Und wie beweise ich das nun mit dem neutralen Element?


Von welchem neutralen Element sprichst du? Wir haben ja zwei Operationen, eine Addition und eine Multiplikation.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Das neutrale Element der Addition ist natürlich 0, aber wie beweise ich, dass es hier vorhanden ist?

Ich sprech von beiden, mir reicht es aber, wenn du es mir am neutralen Element der Addition erklärst, denn bei der Multiplikation wird es wohl analog sein.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Wir suchen eine Funktion , so daß gilt:



Dann ist diese Funktion das neutrale Element der Addition, das man gewöhnlich das "Nullelement" nennt.
Jetzt nimm einmal an, du würdest diese Funktion schon kennen, und gehe in der Gleichung oben durch Einsetzen eines beliebigen zu den Funktionswerten über. Dann bist du in und kannst wie gewohnt rechnen. Bestimme daraus .
Damit bekommst du den einzig möglichen Kandidaten für . Jetzt mußt du eigentlich umgekehrt vorgehen. Du definierst passend, so, als würde es dir gerade so einfallen, und weist nach, daß das Nullelement ist.
Lynn2 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei der Addition ist das ja dann 0.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Lynn2
Ja, bei der Addition ist das ja dann 0.


Zu welcher Frage soll das gehören? verwirrt

Mit dieser Äußerung kann man nichts anfangen. Es ist nach dem neutralen Element bezüglich der Addition in gefragt. Gib dieses neutrale Element an und weise nach, daß es tatsächlich das neutrale Element ist. Und da kannst du nicht einfach "null" in den Raum rufen. Da es sich bei den Elementen von um Abbildungen handelt, muß auch dieses neutrale Element eine Abbildung sein. Ich habe sie oben genannt. Jetzt gib diese Abbildung an.
Du kannst es dir ja erst einmal am Beispiel von vorhin überlegen:
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