Die q-te Wurzel aus p ist irrational, wenn p und q Primzahlen sind

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lilly01 Auf diesen Beitrag antworten »
Die q-te Wurzel aus p ist irrational, wenn p und q Primzahlen sind
Meine Frage:
Hallo,
ich habe bereits im Internet den folgenden Beweis dafür gefunden, dass die n-te Wurzel aus einer Primzahl irrational ist:

"OK, angenommen p^(1/n) ? Q
=> p^(1/n)=a/b wobei a,b ? N und a und b teilferfemd.
=> a^n/b^n=p
=> a^n=b^n*p
=> a^n ist durch p teilbar (p ist also ein Primfaktor von a^n)
=> (wegen Primfaktorzerlegung) a ist durch p teilbar
=> Es gibt c ? N so dass a=c*p
=> P*b^n=a^n=(c*p)^n=c^n*p^n
=> b^n=c^n*p
=> b^n ist durch p teilbar
=> (wie oben) ist durch p teilbar
Also sind a und b nicht teilerfremd. Widerspruch zur Annahme. "

Meine Fragen hierzu:
1.)Kann ich diesen Beweis analog zu meiner Aufgabe verwenden, obwohl es sich bei diesem nur um die n-te Wurzel einer Primzahl handelt und bei mir bei p^1/q p,q Primzahlen sind?

2.)Wie kommt man auf diese Umformung bzw. ist sie und der Beweis überhaupt richtig und vollständig?
=> P*b^n=c^n*p^n
=> b^n=c^n*p
müsste man, wenn man durch p teilt, nicht auf b^n=c^n*p^n-1 kommen?

Meine Ideen:
Wie gesagt,kann ich diesen Beweis ansonsten gut nachvollziehen, jedoch bin ich mir nicht sicher, ob er sich auch auf meine Aufgabenstellung anwenden lässt und richtig ist.
Vielen Dank schon mal im Voraus für eure Hilfe smile
lyly01 Auf diesen Beitrag antworten »
verwirrt
(wegen Primfaktorzerlegung) a ist durch p teilbar p= primteiler von c
=> ""
=> c*b^n=a^n=(d*p)^n=d^n*p^n
=> b^n=d^n*p
=> b^n ist durch p teilbar > (wie oben) ist durch p teilbar
= c^(1/n)=a/b
Widerspruch zur Mathematik ?
böse unglücklich Augenzwinkern verwirrt
 
 
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: verwirrt
Du wärmst nach 5 Jahren diesen Thread wieder auf und hast anscheinend in den 5 Jahren weder einen Fortschritt in der Mathematik noch in Latex gemacht? verwirrt unglücklich Nun denn ...

Mit Sicherheit kein "Widerspruch zur Mathematik", du verrechnest dich nur dauernd. Der ursprüngliche Beweis geht so:

Annahme, sei rational, also

mit teilerfremd. Dies kann man auch schreiben

Da nun prim, muss die Zahl nicht nur ein Teiler von , sondern auch von sein. [Teilt eine Primzahl eine Potenz einer Zahl, dann muss sie auch diese Zahl selber teilen.] Man kann also schreiben

mit einer ganzen Zahl . Dies kann man jetzt wieder in einsetzen und erhält

[Sehr richtig vor 5 Jahren erkannt: dort muss ein Exponent stehen.]
Aus kann man schließen, dass auch ein Teiler von und damit von sein muss. Manche Autoren folgern jetzt kompliziert, dass man diese Prozedur immer weiter fortsetzen kann, ein unendlicher Abstieg in einer Kette von Teilern, woraus der Widerspruch folgt, da jede Zahl nur endlich viele Primfaktoren hat.

Viel einfacher kann man jedoch argumentieren, dass an dieser Stelle der Widerspruch schon da ist, da ja als teilerfremd vorausgesetzt waren, nun aber gezeigt wurde, dass die Annahme der Rationalität von dazu führt, dass Teiler von und von sein muss im Widerspruch zur Teilerfremdheit.

Der Beweis funktioniert übrigens für allle , also auch wenn eine Primzahl ist.
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