Vollständige Induktion - Ungleichung

03.11.2013, 14:09

porter

Vollständige Induktion - Ungleichung

Hallo Forum

Ich habe versucht, 2 Beispiele zur vollständigen Induktion zu lösen. Ich wäre dankbar, wenn mir jemand sagen könnte, ob ich diese beiden Aufgaben richtig gelöst habe.

Folgende Beziehungen dürfen wir dabei verwenden:

$\begin{eqnarray*} a^1 := a\ und\ a^{(n+1)} :=a*a^n \end{eqnarray*}$

1 Aufgabe)

$\begin{eqnarray*} Ist\ a\in \mathbb R \ und\ a>0\ so\ gilt\ fuer\ alle\ n\in \mathbb N :\ a^n>0. \end{eqnarray*}$

Meine Lösung sieht jetzt so aus:

Induktionsanfang: Aussage ist wahr für n=1

$\begin{eqnarray*} a^1 > 0 \Rightarrow a>0 \end{eqnarray*}$
(Das ist gültig, da oben definiert wurde a>0)

Induktionsvoraussetzung: Aussage ist wahr für ein $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Induktionsbehauptung: Aussage ist wahr für n+1

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} a^{(n+1)} = a*a^n > 0 \end{eqnarray*}$

Es gilt ja, dass $\begin{eqnarray*} a^n>0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ , somit ist auch $\begin{eqnarray*} a*a^n>0 \end{eqnarray*}$ , und deshalb auch $\begin{eqnarray*} a^{(n+1)}>0 \end{eqnarray*}$

2 Aufgabe)

$\begin{eqnarray*} Sind\ a,b\in \mathbb R\ mit\ 0\leq b<a, so\ gilt\ fuer\ alle\ n\in \mathbb N :\ b^n<a^n \end{eqnarray*}$

Hier meine Lösung:

Bis zum Induktionsschluss habe ich alles ziemlich gleich gemacht.

Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} b^{(n+1)} = b*b^n < a^{(n+1)} = a*a^n \end{eqnarray*}$

Es gilt ja, dass $\begin{eqnarray*} b^n<a^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b<a \end{eqnarray*}$ , somit ist dieser Fall auch richtig.

Habe ich diese beiden Aufgaben richtig gelöst?
Danke für die Hilfe

03.11.2013, 14:31

jimmyt

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RE: Vollständige Induktion - Ungleichung
Aufgabe 1 sieht sehr gut aus. Freude

Zu Aufgabe 2:

Zitat:

Original von porter
...
Induktionsschluss:

$\begin{eqnarray*} b^{(n+1)} = \textcolor{red}{b*b^n < a^{(n+1)} = a*a^n} \end{eqnarray*}$

Es gilt ja, dass $\begin{eqnarray*} b^n<a^n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b<a \end{eqnarray*}$ , somit ist dieser Fall auch richtig.

Habe ich diese beiden Aufgaben richtig gelöst?
Danke für die Hilfe

Du kannst es so machen, auch möglich wäre:

$\begin{eqnarray*} b^{(n+1)} = b \cdot b^{n} \stackrel{\text{I.V.}}{<} b \cdot a^n \end{eqnarray*}$

und dann

$\begin{eqnarray*} b \cdot b^n < b \cdot a^n \qquad | ~ /b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^n < a^n \end{eqnarray*}$

Und das ist ja genau die Induktionsvoraussetzung. smile

03.11.2013, 14:38

porter

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Ah, das ist natürlich 10 mal eleganter.

Vielen Dank für die schnelle Antwort. smile

03.11.2013, 14:41

jimmyt

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Gerne geschehen. smile

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