Strukturtafel der Komposition von Permutationsgruppen berechnen |
| 03.11.2013, 14:03 | buzzele | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Strukturtafel der Komposition von Permutationsgruppen berechnen Hallo, ich bräuchte bitte ein klein wenig Hilfe bei der folgenden Aufgabe: ----------------------- Wir untersuchen die Permutationsgruppe P(3)von 3 Elementen. P3 enthält die Elemente: (Beim folgenden weiß ich nicht, ob ich es richtig wiedergebe. Es wird hier ne Tabelle angezeigt mit den 1-6 oben in der Zeile und drunter immer die darin enthaltenen Elemente) 1 {2,1,3} 2 {3,2,1} 3 {2,3,1} 4 {1,3,2} 5 {3,1,2} 6 {1,2,3} Berechnen Sie die Strukturtafel der Komposition (geben Sie die Nummer des Elements ein) Anm. von mir: Dann folgt wieder eine Tabelle, in x- und in y- Richtung jeweils 6 Spalten bzw. Zeilen von 1-6. Und die Operation links oben "x o y". Meine Ideen: So, das bedeutet ja, dass ich die zwei Gruppen jeweils miteinander verknüpfen soll, oder nicht? Also bei 1-1 soll ich wohl folgendes tun: {2,1,3} o { 2,1,3} .. Schön und gut, aber woher weiß ich wo ich anfangen muss? Habe es zuerst so versucht, dass ich mit der Zahl in der Zeile, also zum Beispiel 1 anfange und dann zu der Gruppe gehe, die in der SPalte genannt wird. Beispiel 5. Dann wäre rausgekommen: 2. Da das 1. Element in der Gruppe 5 eine 3 ist und das 3. Element den Wert 2. Aber das ist ja völliger Quatsch, ich muss meines Wissens die Permutationsgruppen miteinander verknüpfen und dann von Element zu Element springen. Aber mit welchem fange ich an? |
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| 03.11.2013, 14:44 | Buzzele | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich glaube, ich bin schon ein Schritt weiter. Wenn ich es jetzt richtig verstanden habe, werden hier alle möglichen Permutationen der Menge m {1,2,3} gezeigt. Dann schreibe ich die Elemente auf und darunter diejenigen auf die abgebildet wird. 123 123 123 123 123 123 213 321 231 132 312 123 Meine Aufgabe dürfte es doch jetzt sein, zu berechnen, wie die beiden miteinander verkettet sind, oder nicht? Ich habe ganz am Anfang wie gesagt einen ganz anderen Ansatz gehabt und da waren zufällig z.B. bei 1-5 die 2 richtig und bei 1-6 die 1. Aber wie komme ich darauf? |
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| 03.11.2013, 15:45 | Buzzele | Auf diesen Beitrag antworten » |
Thema hat sich erledigt. Man war das einfach, wieso denk ich so kompliziert. Einfach die Permutationen miteinander verknüpfen und es kommt eine andere dabei raus, die dann eine von den anderen 5 ist. Wieso dachte ich immer, dass ich auf eine Zahl rauskommen muss. Zur Übersichtlichkeit habe ich die Schreibweise auch wie folgt gemacht. Ist wohl die Zyklenschreibweise: p1 = (1,2) (3) p2 = (1,3) (2) usw. Dies bedeutet, dass im 1. Fall die 1 auf die 2 abgebildet wird und die 2 auf die 1. Die 3 bildet sich auf sich selbst ab. Also eben: 123 213 Wenn es jetzt hieß, die 1. Gruppe mit der 2. zu verknüpfen, dann sieht das so aus: (1,2)(3) o (1,3)(2) = px Jetzt wie bei der Verknüpfung üblich mit der hinteren beginnen und da einfach mit der 1. Die 1 wird auf die 3 abgebildet, dann zur vorderen Gruppe, dort wird die 3 auf die 3 abgebildet. Erste Zahl steht. Hinten die 2 wird auf sich selbst abgebildet, vorne die 2 auf die 1. Die zweite Zahl steht. Hinten wird die 3 auf die 1 abgebildet, vorne wird die 1 auf die 2. Dritte Zahl steht. Dann hat man am Ende die Permutationsgruppe {3,1,2} und das ist die Gruppe 5. Nur, falls es jemand braucht 
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