Unendliche geometrische Reihen bei Zylinder, Kegel, Kugeln

03.11.2013, 15:31	Rechi	Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche geometrische Reihen bei Zylinder, Kegel, Kugeln Meine Frage: Hallo, ich hätte hier 2 Beispiele bei denen ich eure Hilfe benötige. Alle 2 habe ich schon probiert und bin nicht auf die gegebene Lösungen gekommen :/ 1 Bsp) Einer Kugel mit Radius = 6cm wird ein gleichseitiger Drehzylinder eingeschrieben. In den gleichseitigen Drehzylinder eine Kugel, in die Kugel wieder ein gleichseitiger Drehzylinder usw. Gesucht sind: Summe der Oberflächen von Kugeln Summe der Volumina von Kugeln Summe der Oberflächen von Drehzylinder Summe der Volumina von Drehzylinder 2) In einem Drehkegel verhält sich die Höhe zum Radius wie 4:3. Dem Kegel werden übereinander liegende Kugeln eingeschrieben. Das Volumen der Kugeln beträgt $\begin{eqnarray} 1568\pi \end{eqnarray}$ Wie groß sind der Radius und die Höhe des Drehkegels? Meine Ideen: ad1) Gleichseitiger Zylinder: h = 2r Gleichseitiger Drehzylinder ist gleich breit wie hoch => ähnlich eines Quadrates? Ich hab das Beispiel so versucht zu lösen dass ich folgenden Ansatz nehme: Ich konnte so ein Beispiel schon mit Kreisen und Quadraten lösen. Da war der Durchmesser des 1.Kreises gleich die Diagonale des 1.Quadrates. Der Durchmesser vom 2.Kreis war gleich die Diagonale vom 2. Quadrat usw. Dann einfach q ausrechnen und in die Summenformel einsetzen. Nur wie übertrage ich diesen Ansatz in mein Beispiel? Weil eigentlich ist ja der Querschnitt von einer Kugel ein Kreis und der Querschnitt vom gleichseitigen Drehzylinder ist ja auch ein Quadrat, oder? Falls meine Überlegung stimmen sollten, hätte ich folgende Fragen: Beim Umrechnen von Diagonale des Quadrates zum Inkreisdurchmesser verwende ich folgende Formel: $\begin{eqnarray} e = a\sqrt{2} \end{eqnarray}$ => diese forme ich auf a um und erhalte den neuen Inkreisdurchmesser Dies wäre dann gleich wieder die Diagonale von meinem neuen Quadrat welches sich in diesem Kreis befindet usw. Stimmt dieses Vorgehen auch für meinen Fall? Weil wenn ich das so durchrechne komme ich auf $\begin{eqnarray} q = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} OKugel = 4r^{2}\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} VKugel = \frac{4}{3}r^{3}\pi \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} OZylinder= 2r^{2}\pi+r\pi2r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} VZylinder = r^{2}\pi2r \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} S = b_{1}\frac{1}{1-q} \end{eqnarray}$ Wenn ich jetzt für r = 6 einsetze und für $\begin{eqnarray} q = \frac{\sqrt{2}}{2} \end{eqnarray}$ komm ich nicht auf die richtigen Ergebnisse. Wo liegt mein Fehler? Verrechnet (dreimal durchgekaut :-/) oder falscher Ansatz? ad2) Mein erster Gedanke war folgender: $\begin{eqnarray} \frac{h}{r}= \frac{4}{3} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Vkegel = \frac{4}{3} r^{3} \pi \end{eqnarray}$ Daraus lässt sich dann der Radius ausdrücken. Nur leider ist die Summer der Volumina der Kugeln nicht gleich das Volumen des Drehkegels. Mein zweiter Gedanke: Querschnitt von beiden machen. Dann hätte ich ein Dreieck mit übereinander gestapelten Kreisen. Die Höhe des Dreieckes ist $\begin{eqnarray} h = \frac{4}{3} r \end{eqnarray*}$ Wenn ich nun nur das Dreieck halbiere erhalte ich ein rechteckiges Dreieck mit der einen Seite Höhe h und dem Radius r, in welchem gestapelte Halbkreise drinnen liegen. Nur wie hilft mir das nun genau weiter? Denn den Radius der Kreise kenne ich deswegen trotzdem nicht, da dieser ja nicht dem Radius des Dreieckes entspricht,oder? Bei einem ähnlichen Beispiel mit Dreieck und gestapelten Quadraten konnte ich den Strahlensatz anwenden, nur wie geht das mit Halbkreisen? Vielen Dank für eure Hilfe! Diese beiden Beispiele haben mich nun das Wochenende beschäftigt, wäre toll wenn sich dazu passende Ansätze finden lassen würden
04.11.2013, 11:46	Rechi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen& Reihen Drehzylinder Drehkegel Kugeln Update: OKugel und VKugel konnte ich mir nun ausrechnen. bei $\begin{eqnarray} q= (\frac{\sqrt{2}}{2})^{2} \end{eqnarray}$ für OKugel komme ich auf $\begin{eqnarray} 904,7786842 (bzw 288\pi) \end{eqnarray}$ (=stimmt mit Lösungsbuch überein) bei $\begin{eqnarray} q= (\frac{\sqrt{2}}{2})^{3} \end{eqnarray}$ für VKugel komme ich auf1399,618578 (=stimmt mit Lösungsbuch überein) Wenn ich dann für OZylinder die Formel $\begin{eqnarray} (2r^{2}\pi) +(2r\pih) \end{eqnarray}$ verwende komme ich zwar auf das richtige Ergebnis von $\begin{eqnarray} 216\pi \end{eqnarray*}$ , nur rechne ich mir nicht damit nur die Oberfäche von einem Zylinder aus und nicht die gesuchte Summe? Das Volumen vom Zylinder schaff ich einfach nicht, jemand da vielleicht eine Idee? Bei Beispiel 2 bin ich auch noch nicht weiter. Kann mir bitte jemand einen Tipp geben. Vielen Dank!
04.11.2013, 23:28	Gualtiero	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Folgen& Reihen Drehzylinder Drehkegel Kugeln Ich finde die Aufgaben sehr interessant, habe aber im Moment wenig Zeit. Deshalb können gerne andere Helfer hier weitermachen. Ein allgemeiner Tipp: die Verlagerung des Problems ins Zweidimensionale erleichtert die Lösung, Du gehst diesen Weg ohnehin schon. Zu Aufgabe 2): Ein senkrechter Schnitt entlang der Kegelachse ergibt als Schnittbild ein gleichschenkeliges Dreieck (<-Kegel) mit seinem Inkreis (<-untere Kugel) und einen kleinen Kreis in der Nähe der Spitze, der den unteren Kreis und die beiden Schenkel berührt. Berechne den Basiswinkel, halbiere ihn und bilde davon den Tangens. Der Wert ist so einfach, dass Du die (vorläufigen!) Radien der beiden Kreise im Kopf berechnen kannst.
05.11.2013, 22:07	Rechi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Nun hat es auch mit Beispiel 2 geklappt. Hat den bitte jemand vielleicht noch einen Tipp für Beispiel 1?
06.11.2013, 15:22	Rechi	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Oberflächen und die Volumina der Zylinder machen mir noch zu schaffen. Hat den keiner eine Idee? Ich bitte um Hilfe. :-)
06.11.2013, 16:07	riwe	Auf diesen Beitrag antworten »
ein bilderl hilft vielleicht wenn gilt $\begin{eqnarray} \frac{r_2}{r_1}=q\to\frac{O_2}{O_1}=q^2 \quad \frac{V_2}{V_1}=q^3 \end{eqnarray}$
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07.11.2013, 14:10	Rechi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank euch beiden! Die Skizze hat mich auf den richtigen Weg gebracht. Alle Beispiele gelöst, kann geschlossen werden ;-)

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