Kartesisches Produkt von endlich vielen abzählbaren Mengen

03.11.2013, 17:38	dishytype	Auf diesen Beitrag antworten »
Kartesisches Produkt von endlich vielen abzählbaren Mengen Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe: Seien $\begin{eqnarray} M_{1} , ... , M_{l} \end{eqnarray}$ abzählbare Mengen. Zeigen Sie dass folgende Menge abzählbar ist: $\begin{eqnarray} M_{1} \times M_{2} \times ... \times M_{l} = { (m_{1} , m_{2} , ... , m_{l}) \| m_{i} \in M_{i} , 1 \leq i \leq l } \end{eqnarray}$ Mein Lösungsansatz: Da $\begin{eqnarray} M_{n} \end{eqnarray}$ abzählbar ist, kann ich jede Menge davon wie folgt schreiben: $\begin{eqnarray} M_{1} = { m_{11}, m_{12}, m_{13} ... }<br /> M_{2} = { m_{21}, m_{22}, m_{23} ... }<br /> M_{3} = { m_{31}, m_{32}, m_{33} ... }<br /> .... \end{eqnarray}$ Wenn ich alle $\begin{eqnarray} M_{n} \end{eqnarray}$ vereinige, kann ich durch das Diagonalverfahren beweisen, dass die Vereinigungsmenge wieder abzählbar ist. Da ich weiß, dass es bei einer n-elemetntigen Menge genau n! Möglichkeiten gibt, die Elemente anzuordnen, kann ich begründen dass ich von der Vereigung aller $\begin{eqnarray} M_{n} \end{eqnarray}$ genau n! n-elementige Tupel bilden kann. Aber eben diese Tupel entstehen beim kartesischen Produkt all dieser Mengen $\begin{eqnarray} M_{n} \end{eqnarray}$ . Wenn ich dann noch eben zeige wie genau ich all diese n! Tupel aufzähle, müsste die Behauptung bewiesen sein. Kann ich das so machen? // Entschuldigt die fehlenden Mengenklammern - bekomme die mit LaTex irgendwie nicht hin ...

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