Differentialgleichungen lösen

03.11.2013, 17:47	Anna19	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungen lösen Meine Frage: Hallo zusammen Ich soll folgende Differentialgleichung lösen und komme einfach nicht weiter. x dx=y dy Meine Ideen: Ich habe versucht es umzustellen $\begin{eqnarray} \frac{x}{y}= \frac{dy}{dx} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{y}{x}=\frac{dx}{dy} \end{eqnarray}$ , aber schlau werde ich daraus nicht wirklich. Vielleicht übersehe ich etwas?! Ich bin froh über jeden Denkanstoß
03.11.2013, 17:53	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi naja, welche Methoden hattet ihr denn schon? Trennung der Variablen? $\begin{eqnarray} x dx=y dy \end{eqnarray}$ sieht doch gut aus. Beide Seiten Integrieren? Konstante C nicht vergessen. Gruß
03.11.2013, 18:03	Anna19	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir hatten eben noch leider nichts dazu. Gut dann integriere ich mal: $\begin{eqnarray} \frac{1}{2}x^2 + C_1 =\frac {1}{2}y^2 + C_2 \\<br /> \leftrightarrow \frac{1}{2}x^2 - \frac {1}{2}y^2 + C = 0 \end{eqnarray}$ Und was muss man jetzt machen, ist der zweite Schritt überhaupt nötig?
03.11.2013, 18:52	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
achso noch nichts, na dann :-) y ist normal eine Funktion von x: $\begin{eqnarray} y(x) \end{eqnarray}$ Die Lösung deiner Differentialgleichung ist genau dieses $\begin{eqnarray} y = y(x) \end{eqnarray}$ um y zu bekommen musst du deine letzte Gleichung nach y auflösen. Zur Probe kann man in die originale Gleichung einsetzten.
03.11.2013, 19:01	Anna19	Auf diesen Beitrag antworten »
ok, aber kann nicht auch x=x(y) sein?
03.11.2013, 19:08	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja wie gesagt in der Schule oder zu beginn des Studiums nimmt man immer y(x) oder y(t), so stellen sich viele praktische Probleme dar. Natürlich kann auch x(y) sein, wenn die Umkehrung auf einem Intervall existiert. Könnte man z.B. nicht nach y auflösen, so kann man nach x auflösen und hat die Umkehrfunktion in den Händen, was schon mal viel wert ist. Mit praktischem Bezug sieht man schon besser was in der Regel von was abhängt.
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03.11.2013, 19:52	Anna19	Auf diesen Beitrag antworten »
Aha, ok. Ich habe jetzt die Gleichung nach y aufgelöst und wollte sie zur Probe in die Anfangsgleichung einsetzten, da ist mir aufgefallen, dass ich nicht weiß, was ich für das dy einsetzen soll...
04.11.2013, 08:17	Christian_P	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo deine Umstellung $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = \frac{x}{y} \end{eqnarray}$ ist dazu geeignet. Das ist auch die normale Form. $\begin{eqnarray} \frac{dy}{dx} = y'= \frac{x}{y} \end{eqnarray}$ wenn die Lösung $\begin{eqnarray} y = L \end{eqnarray}$ ist. $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}(L) = \frac{x}{L} \end{eqnarray}$ Gruß

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