Differenzierbarkeit

03.11.2013, 18:46

Veysel1990

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Differenzierbarkeit

Meine Frage:
Finden Sie heraus, wie oft die Fkt. im Nullpunkt differenzierbar ist. Welche der existierenden Ableitungen sind im NP stetig:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2sin(ln|x|); x\neq 0<br /> 0; 0=0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Also zuerst habe ich die Fkt nach Differenzierbarkeit untersucht:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{x^2sin(ln|x|)-0}{x-0}\lim_{x \to 0}xsin(ln|x|)<br /> \end{eqnarray*}$
Habe dies dann umgeformt:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{sin(ln|x|)}{\frac{1}{x} } \end{eqnarray*}$

Nach l'Hospital bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}-\frac{cos(ln|x|)+sin\frac{x}{|x|^2} }{\frac{1}{x^2} } \end{eqnarray*}$

Doch hier komme ich nicht mehr weiter? Habe ich irgendetwas falsch gemacht? Und bei der Stetigkeit muss ich da eine Fallunterscheidung anwenden?

04.11.2013, 18:12

Veysel1990

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RE: Differenzierbarkeit
Kann mir hier denn niemand mehr weiterhelfen verwirrt

verwirrt

04.11.2013, 18:54

EinGast

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RE: Differenzierbarkeit
den Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0} x \sin(\ln |x|) \end{eqnarray*}$ kannst du direkt bestimmen, ohne de L'Hospital (Sinus ist ja eine beschränkte Funktion)

04.11.2013, 19:15

Veysel1990

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RE: Differenzierbarkeit
Danke erstmal für deine Antwort, wäre nicht draufgekommen.

Also habs mal versucht: Da ja Sin zwischen -1 und 1 bewegt ist:

$\begin{eqnarray*} 0\leq x^{2}\sin(ln|x|)\leq x^{2} \end{eqnarray*}$ und wenn x gegen 0 geht, ist der GW = 0 nicht?

04.11.2013, 19:28

EinGast

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RE: Differenzierbarkeit

Zitat:

Original von Veysel1990
Da ja Sin zwischen -1 und 1 bewegt ist:

$\begin{eqnarray*} 0\leq x^{2}\sin(ln|x|)\leq x^{2} \end{eqnarray*}$

nicht ganz richtig - da der Sinus auch negativ werden kann, musst du entweder links $\begin{eqnarray*} -x^2 \end{eqnarray*}$ statt 0 nehmen, oder den Betrag des Sinus

aber der Grenzwert ist 0, das stimmt

04.11.2013, 19:37

Veysel1990

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ok stimmt, danke.

Wie sieht es jetzt mit der Stetigkeit aus?

Ich habe die Ableitung bekommen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2xsin(ln|x|)+x^{2} cos(ln|x|)}{|x|} \end{eqnarray*}$

Jetzt möchte ich x gegen 0 gehen lassen, doch weiss nicht, ob ich den Betrag von x kürzen kann und wenn ja, komme ich trotzdem nicht auf einen Wert?

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04.11.2013, 19:49

EinGast

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Zitat:

Original von Veysel1990

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{2xsin(ln|x|)+x^{2} cos(ln|x|)}{|x|} \end{eqnarray*}$

die Ableitung stimmt so nicht ...

04.11.2013, 20:07

Veysel1990

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Ich sehe meinen Fehler nicht...

Habe doch ganz normale Produkteregel angewendet für:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}sin(ln|x|) \end{eqnarray*}$

u ist ja x^2 => u'=2x

v= $\begin{eqnarray*} sin(ln|x|) \end{eqnarray*}$ => v'= $\begin{eqnarray*} cos(ln|x|)\cdot \frac{1}{|x|} \end{eqnarray*}$

Wo habe ich hier einen Fehler?

04.11.2013, 20:17

EinGast

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Zitat:

Original von Veysel1990

v= $\begin{eqnarray*} sin(ln|x|) \end{eqnarray*}$ => v'= $\begin{eqnarray*} cos(ln|x|)\cdot \frac{1}{|x|} \end{eqnarray*}$

Wo habe ich hier einen Fehler?

es gilt $\begin{eqnarray*} (\ln |x|)'=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ , also rechts ohne Betrag

04.11.2013, 20:46

Veysel1990

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ahso ok.

Demnach gilt nach kürzen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 2sin(ln|x|)+xcos(ln|x|) \end{eqnarray*}$

Davon gibt es keine Grenze? Demnach ist sie in der 1. Ableitung nicht stetig meiner Meinung nach. Korrigiere mich, wenn ich falsch liege.

04.11.2013, 21:16

EinGast

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Moment: der erste Summand $\begin{eqnarray*} 2x\sin(\ln |x|) \end{eqnarray*}$ wird bei der Anwendung der Produktregel nicht mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ multipliziert, nur der zweite.

Also lautet die Ableitung $\begin{eqnarray*} f'(x)=\begin{cases} 2x\sin(\ln |x|)+ x\cos (\ln |x|), & \text{für $x\neq 0$} \\ 0 & \text{für $x=0$} \end{cases} \end{eqnarray*}$

04.11.2013, 21:22

Veysel1990

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LOL Hammer

ein wirklich dummer Fehler...

Kann ich hier auch wieder die Beschränktheit der sin und cos Funktion benutzen??

Wenn ja, habe ich wieder 0 für x gegen 0 und die fkt wäre doch stetig

04.11.2013, 21:24

EinGast

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richtig.
Und die Frage ist nun, ob $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt sogar differenzierbar ist...

04.11.2013, 21:48

Veysel1990

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Nach dem Differentenquotienten ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2xsin(ln|x|)+xcos(ln|x|)-0}{x-0} \end{eqnarray*}$

Das x lässt sich wegkürzen und dann steht da noch:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 2sin(ln|x|)+cos(ln|x|) \end{eqnarray*}$

Das hat meiner Meinung nach keinen GW und deshalb ist f'(x) im NP nicht differenzierbar. Stimmt das so?

04.11.2013, 21:53

EinGast

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ja, das stimmt, wobei man noch begründen sollte, warum der Grenzwert

Zitat:

Original von Veysel1990
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 2sin(ln|x|)+cos(ln|x|) \end{eqnarray*}$

nicht existiert.

04.11.2013, 22:06

EinGast

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wobei man noch eine Klammer setzen sollte um die beiden Summanden im Limes - habe ich vergessen im letzten Beitrag

04.11.2013, 22:38

Veysel1990

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Hmm gute Frage..

Wenn x gegen 0 geht im Ausdruck ln(x), dann geht dieser Term gegen minus unendlich (hab die Betragsstriche weggelassen). Und der sin(x) für x minus unendlich gibt es genauso wenig wie bei cos? stimmt die Begründung so? verwirrt

verwirrt

04.11.2013, 22:52

EinGast

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das Problem ist, dass grundsätzlich der Grenzwert einer Summe auch existieren kann, wenn die Grenzwerte der einzelnen Summanden nicht existieren...

ich würde zwei spezielle Folgen von x-Werten wählen: eine, bei der der Sinus im ersten Summanden immer 1 ist (dann ist der Kosinus 0), und dann eine zweite Folge, die irgendeinen anderen Grenzwert liefert

04.11.2013, 23:25

Veysel1990

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Ok, ich verstehe deinen Ansatz. Danke vielmals für deine Unterstützung und Zeit Freude

Freude

Hat mir echt geholfen Idee!

Idee!

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