Wachstumsaufgabe Bevölkerung

03.11.2013, 19:38

Tipso

Wachstumsaufgabe Bevölkerung

Hallo,

Zitat:

Die Bevölkerung eines Entwicklungslandes wächst jährlich um 16.00%. Wie stark muß das Volkseinkommen jährlich wachsen, damit sich das Einkommen pro Kopf innerhalb von 3 Jahren verdoppelt? Geben Sie das Ergebnis in Prozent an.

1. Schritt
Gleichungen aufstellen:

1. Gleichung

B_t = B_0 *(1,16)^1 = 1,16
B_0 = 1

2. Gleichung

B_3 = B_0 *a^3 = 2
B_0 = 1

Ich finde meinen Fehler nicht. Es muss sich um einen Fehler handeln, weil ich für die Berechnugn von a in meiner zweiten Gleichung, die erste Gleichung nicht brauche.

lg

03.11.2013, 19:51

MatheIstLustig

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RE: Wachstumsaufgabe Bevölkerung
Zunächst einmal eine Anmerkung zu deinem Rechenweg:
Wenn ich deine Lösung richtig verstanden habe, steht B in der 1.Gleichung für die Bevölkerung und in der 2. Gleichung für das Einkommen. Da ist es sinnvoll, auch zwei verschiedene Buchstaben zu wählen.

Zu deinem Fehler:
Du hast bei dem Einkommenswachstum nicht die gestiegene Bevölkerungszahl berücksichtigt. Bei dir verdoppelt sich das Einkommen für die vorahndene Bevölkerung zum Startzeitpunkt.

03.11.2013, 20:01

Tipso

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1. Gleichung

B_t = B_0 *(1,16)^1 = 1,16
B_0 = 1

2. Gleichung

B_3 = C_0 *a^3 = 2
C_0 = (1,16)^3

a = 1,08

8 % verwirrt

03.11.2013, 20:18

MatheIstLustig

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Zunächst einmal benötigst du die Bevölkerung nach 3 Jahren, denn das Pro Kopf Einkommen bezieht sich auf diese neue Bevölkerungszahl.

Die allgemeine 1.Gleichung sollte geschreiben werden:
$\begin{eqnarray*} B_t= B_0 \cdot 1,16^t \end{eqnarray*}$

Ähnlich dann die allgemeine Zweite Gleichung. Vielleicht stellst du die entssprechend auf

03.11.2013, 20:38

Tipso

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$\begin{eqnarray*} B_t= B_0 \cdot 1,16^t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} B_3= B_0 \cdot 1,16^3=1.56 \end{eqnarray*}$

-------------------------------------------------------

Gesucht:

$\begin{eqnarray*} B_t= B_0 \cdot a^3 = 2 \end{eqnarray*}$

JEtzt ist natürlich die Frage, was ist den nun was und warum ist dies so?
Für mich ist es nicht ersichtlich.

B_0 = Einkommen

a = Wachstumsrate

t = Jahre

Ergebnis ist das Doppelte vom Anfangseinkommen.
Was ist das überhaupt gesucht?
Wozu brauche ich dann noch die Einwohnerzahl?

03.11.2013, 20:49

MatheIstLustig

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Soweit ist die Bevölkerung jetzt richtig.

Nun zum Einkommen:
Der Ansatz ist zunächst einmal identisch zu dem der Bevölkerung. (ich veuche es mal mit einem anderen Buchstaben, das ist mir sympathischer:
$\begin{eqnarray*} E_t=E_0 \cdot a^3 \end{eqnarray*}$

Jetzt soll sich das Pro Kopf Einkommen verdoppeln: Dann kann ich aber nicht $\begin{eqnarray*} E_t = 2 \cdot E_0 \end{eqnarray*}$ nehmen, um a zu bestimmen. Mit diesem Ansatz habe ich, wie du schon selbst bemerkt hast, das Bevölkerungswachstum nicht berücksichtigt /nicht gebraucht. Da die Bevölkerung in den 3 Jahren wächst, muss das Einkommen mehr als verdoppelt werden. Den Faktor suchen wir, und für den brauchen wir das Bevölkerungswachstum.

03.11.2013, 20:54

Tipso

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$\begin{eqnarray*} E_3=1.56*E_0 \cdot a^3=2 \end{eqnarray*}$

Jetzt auf a umformen. verwirrt

03.11.2013, 20:59

MatheIstLustig

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Es bleibt bei: $\begin{eqnarray*} E_3 =E_0 \cdot a^3 \end{eqnarray*}$

Nun gilt auch $\begin{eqnarray*} E_3 = 1,56 \cdot E_0 \end{eqnarray*}$ ?
Daraus ergibt sich dann $\begin{eqnarray*} 1,56 \cdot E_0 = E_0 \cdot a^3 \end{eqnarray*}$ oder a= 1,16

Dann haben wir identisches Wachstum wie bei der Bevölkerung.
Wie hätte sich dann das Pro-Kopf-Einkommen verändert?

03.11.2013, 21:09

Tipso

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$\begin{eqnarray*} 1,56 \cdot E_0 = E_0 \cdot a^3 \end{eqnarray*}$

a = 1.1597

16 %

03.11.2013, 21:12

MatheIstLustig

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Das habe ich bereits geschrieben.
Wenn Bevölkerung und Einkommen gleich wacchsen,
wie hätte sich dann das Pro-Kopf-Einkommen verändert?

03.11.2013, 21:28

Tipso

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$\begin{eqnarray*} E_t=2*1.56*E_0 \cdot a^3 \end{eqnarray*}$

a = 1.46

46 %

Um es zu verstehen, werde ich noch etwas Zeit brauchen ..

03.11.2013, 21:36

MatheIstLustig

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das Ergebnis stimmt jetzt.
$\begin{eqnarray*} E_3 = 2 \cdot 1,56 \cdot E_0 \end{eqnarray*}$

Zum Verstehen kannst Du versuchen, die Aufgabe noch einmal sauber aufzuschreiben.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} E_t=2*1.56*E_0 \cdot a^3 \end{eqnarray*}$

Du vermischst immer noch beide Gleichungen für $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ .

03.11.2013, 21:53

Tipso

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Du vermischst immer noch beide Gleichungen für $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ .

Verstehe ich nicht ganz.

Es ist ja dasselbe:

$\begin{eqnarray*} 1,56 \cdot E_0 = E_0 \cdot a^3 \end{eqnarray*}$

a^3 = 1,56

Thx. Freude

03.11.2013, 22:32

MatheIstLustig

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Jetzt sieht es besser aus. Vergleich mal mit dem Zitat in meinem vorherigen Post.

03.11.2013, 22:50

Tipso

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Ich habe am Anfang mit a^3 zweimal multipliziert.

Jetzt habe ich meinen Fehler gefunden. smile

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