Aufgabe zu Differentialgleichungen

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03.11.2013, 20:03

M1a

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Aufgabe zu Differentialgleichungen

Meine Frage:
Hi smile

Ich habe eine Aufgabe und verstehe nur Bahnhof unglücklich

Also die Aufgabe lautet:
Man möchte die Temperatur draußen messen. Dazu legt man ein Thermometer nach draußen, dass am Anfang 12,5°C anzeigt. Nach 5 min zeigt es 17,5°C an und nach weiteren 5 min 20°C.
Jetzt soll man daraus wissen, wie warm es draußen ist.

Meine Ideen:
Ich habe mir jetzt folgendes gedacht:
Die Anfangsbedingung wäre doch f(0)=12,5.
Aber ich sehe keinen Zusammenhang zwischen der Funktion f und der Ableitung f'(t).

Vielen Dank schon mal im voraus !!! smile

04.11.2013, 10:34

Ehos

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Jedes Thermometer besitzt eine gewisse Trägheit. Legt man z.B. ein Thermometer in einen Kühlschrank, so dauert es eine gewisse Zeit, bis die tatsächliche Innentemperatur des Kühlschrankes angezeigt wird. Die angezeigte Temperatur T wird sich dabei um so schneller ändern, je größer die Differenz zur tatsächlichen Temperatur To im Kühlschrank ist. Es gilt also folgende Proportionalität

$\begin{eqnarray*} \tfrac{dT}{dt}=\alpha \cdot (T_0-T) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ist ein Proportionalitätfaktor, der ein Maß für die Empfindlichkeit des Thermometers ist. Die Lösung dieser Differenzialgleichung ist

$\begin{eqnarray*} T(t)=C\cdot e^{-\alpha t}+T_0 \end{eqnarray*}$

Die unbekannte Konstante C und die Empfindlichkeit $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ erhält man, indem man die Anfangsbedingungen benutzt.

$\begin{eqnarray*} T(0)=12,5° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T(5)=17,5° \end{eqnarray*}$

Einsetzen liefert folgendes Gleichungssystem für C und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} C\cdot e^{-\alpha \cdot 0}+T_0=12,5° \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} C\cdot e^{-\alpha\cdot 5}+T_0=17,5° \end{eqnarray*}$

Setze die Lösungen C, $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ in die obige Lösung $\begin{eqnarray*} T(t)=C\cdot e^{-\alpha t}+T_0 \end{eqnarray*}$ ein, und du bekommst angezeigte Temperatur T(t) als Funktion der Zeit. Die gesuchte Außentemperatur bekommst du, indem du dort die Zeit $\begin{eqnarray*} t\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ einsetzt, denn die tatsächliche Außentempertur stellt sich erst nach unendlich langer Wartezeit ein (theoretisch).

06.11.2013, 22:09

M1a

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Danke für die schnelle Antwort.

Ich habe jetzt versucht dass C auszurechnen, jedoch kommt bei mir C =0 raus und dass kann ja unmöglich sein.

07.11.2013, 08:47

klarsoweit

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Und du glaubst, ohne daß du uns deine Rechnung zeigst, können wir dir sagen, was du falsch gerechnet hast? geschockt

07.11.2013, 08:57

M1a

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Ich dachte, dass sieht man durch einsetzen. Aber hier nun mit Rechnung:

12,5=T(0)=C+T0=C+12,5 --> C=0

07.11.2013, 09:43

klarsoweit

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Du unterliegst dem Irrtum, daß $\begin{eqnarray*} T(0)=T_0 \end{eqnarray*}$ ist. In der Nomenklatur von Ehos ist T_0 die tatsächliche Temperatur im Kühlschrank und somit nicht die auf dem Thermometer angezeigte Temperatur zur Zeit t=0.

07.11.2013, 10:01

M1a

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Achso...dann ist C natürlich nicht gleich Null. Dann habe ich aber 3 Variablen und 2 Gleichungen und das lässt sich ja nicht eindeutig lösen.

07.11.2013, 10:59

klarsoweit

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RE: Aufgabe zu Differentialgleichungen
Die 3. Gleichung bekommst du aus dieser Angabe:

Zitat:

Original von M1a
und nach weiteren 5 min 20°C.

Diese hat Ehos in seiner quasi Komplettlösung (was eigentlich nicht gewünscht ist Lehrer

) vergessen.

07.11.2013, 11:03

M1a

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RE: Aufgabe zu Differentialgleichungen
Stimmt Finger1

dann hab ich noch mein T(10)=20.

Vielen Danke, dann versuche ich mich nochmal an der Aufgabe.

07.11.2013, 11:31

M1a

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RE: Aufgabe zu Differentialgleichungen
Es hat geklappt! Vielen, vielen Dank für eure Hilfe smile

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