Beweis: Folge a wird von Folge b dominiert

03.11.2013, 21:16	violinschluessel	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Folge a wird von Folge b dominiert Meine Frage: Hallo Freunde der Mathematik! Würdet ihr hier bitte kurz drüberschauen? Das schaut mir doch zu einfach aus... Ich soll zeigen, dass für n>3 (n aus den natürlichen Zahlen) die Folge a von der Folge b dominiert wird, also strikt größer ist. $\begin{eqnarray} (a_{n})_{n\in N}, a_{n}= 2^{n}\\(b_{n})_{n\in N}, b_{n}= n! \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Induktionsvoraussetzung: $\begin{eqnarray} 2^{n}<n! \end{eqnarray}$ Induktionsanfang: n = 4 $\begin{eqnarray} 2^{4}<4!\\16<24 \end{eqnarray}$ Induktionsschritt: $\begin{eqnarray} <br /> n \rightarrow n+1\\<br /> 2^{n+1} <(n+1)!\\2^{n} \cdot 2 < (n+1)\cdot n!\\<br /> \end{eqnarray}$ Da laut der Induktionsvoraussetzung schon gilt dass $\begin{eqnarray} 2^{n}<n! \end{eqnarray}$ gilt, muss jetzt nur noch gezeigt werden, dass $\begin{eqnarray} 2<(n+1) \end{eqnarray}$ gilt. Für n>3 (n aus den natürlichen Zahlen) gilt $\begin{eqnarray} 2<(n+1) \end{eqnarray}$ weil für n=4 gilt $\begin{eqnarray} 2<(4+1) \end{eqnarray}$
03.11.2013, 22:06	violinschluessel	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Folge a wird von Folge b dominiert OK, das gehört eigentlich in die Hochschulmathematik. Ich könnte schwören ich hätte es vor dem Abschicken noch angeklickt... Tut mir wirklich leid, bitte um Verschiebung in Hochschulmathematik/Analysis.
03.11.2013, 23:14	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein interessanter Ansatz, der überdies absolut richtig ist Eine Kleinigkeit: weil laut IV $\begin{eqnarray} 2^n<n! \end{eqnarray}$ gilt, braucht man "nur" noch $\begin{eqnarray} 2\leq n+1 \end{eqnarray}$ zu zeigen PS. Man hätte auch (vielleicht üblicher bei vollst. Induktion) $\begin{eqnarray} n! \end{eqnarray}$ mit der IV nach unten abschätzen können und wäre dann auf dasselbe Ergebnis gekommen. Lg kgV
03.11.2013, 23:48	violinschluessel	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo und Danke für deine Antwort! Du hast mir gerade ein wenig Selbstvertrauen eingehaucht Dieses "Abschätzen" habe ich schon einmal gehört, aber nicht in der Vorlesung. Könntest Du mir bitte erklären was damit gemeint ist? Wie würde das in diesem Fall aussehen? Grüße violinschluessel
04.11.2013, 00:18	kgV	Auf diesen Beitrag antworten »
Abschätzen heißt allgemein, einen Teil einer Ungleichung, nehmen wir $\begin{eqnarray} a<b \end{eqnarray}$ durch einen anderen zu ersetzen, so dass $\begin{eqnarray} a<c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c<b \end{eqnarray}$ gilt, in Summe also $\begin{eqnarray} a<c<b \end{eqnarray}$ . Wenn du nun die beiden Teilaussagen mit dem c zeigst, gilt automatisch auch die Gesamtaussage mit a und b Abschätzen heißt also quasi ein großes Problem durch zwei kleinere zu ersetzen Hier heißt das: Nun, es gilt laut IV $\begin{eqnarray} 2^n<n! \end{eqnarray}$ Du hast nun $\begin{eqnarray} 2\cdot 2^n<(n+1)n! \end{eqnarray}$ Es gilt wegen der IV $\begin{eqnarray} (n+1)2^n<(n+1)n! \end{eqnarray}$ Wenn du nun also zeigen kannst, dass $\begin{eqnarray} 2\cdot2^n<(n+1)\cdot 2^n\Leftrightarrow 2<n+1 \end{eqnarray}$ gilt, dann folgt mit der obigen Ungleichung $\begin{eqnarray} 2\cdot2^n<(n+1)\cdot 2^n<(n+1)n! \end{eqnarray}$ , insbesondere also $\begin{eqnarray} 2\cdot2^n<(n+1)n!\Leftrightarrow 2^{n+1}<(n+1)! \end{eqnarray}$ , was zu zeigen war

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