Komplexe Zahlen und Einheitswurzeln

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bob123 Auf diesen Beitrag antworten »
Komplexe Zahlen und Einheitswurzeln
Hallo Matheboard,

Ich stecke gerade fest mit der Aufgabe:

[attach]31975[/attach]

Bei 2) steht im Hinweis dass man es einsetzen soll, spricht:

C³ = 1
= (x+iy)³ = 1
= x³+(3x²y)*i+(3xy²)*i + y³*i = 1

Aber wie rechne ich das jetzt weiter aus? In Wikipedia steht jetzt dass die dritte Einheitswurzel:
C1= ... so und so ist...

Aber ich habe keinen Ansatz wie ich darauf kommen soll...

bei b) fehlt mir die Zuordnung des Symbols F7, also was ist F7, und mit welchem Ansatz rechne ich das aus?

bei c) weiß ich irgendwie auch keinen Ansatz, wäre nett wenn ich einen Ansatz bekäme...

EDIT// Hab bei Wikipedia jetzt das hier gefunden:
[attach]31974[/attach]

Dann wäre das ja sortiert, spricht imaginärer teil ist (3a²b - b³)*i und realer Teil x³ - 3xy², aber die Lösung seh ich immer noch nicht...

Externe Links durch Attachments ersetzt. Steffen
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Komplexe Zahlen und Einheitswurzeln
hallo,
du hast schon bei aufgabe 2) (x+iy)^3 nicht richtig ausgegerechnet,
denk dran, es gilt (a+b)^3= a^3+3a^2b+3ab^2+b^3, das mit den i´s stimmt
bei dir nicht.
Und mit F_7 ist der körper der restklassen modulo 7 gemeint, das kann man
bei wikipedia unter "endliche körper" nachlesen.
gruss ollie3
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Jup, aber bei Wikipedia steht doch, dass (x+iy)³ so lautet:

Und wie ermittle ich jetzt alle dritten Einheitswurzeln?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
die wikipedia-gleichung stimmt, und das führt ja dann zu dem gleichungssystem
a^3 - 3ab^2=1 und 3a^2b - b^3=0.
Und die einheitswurzeln kann man einfach durch probieren ermitteln, F_7 besteht
ja nur aus 7 elementen, man berechnet also 1^7, 2^7 u.s.w.
Am lustigsten ist die letzte aufgabe, der gesuchte körper ist nämlich winzig klein. Augenzwinkern
gruss ollie3

edit: sorry, ich meinte natürlich 1^3, 2^3 u.s.w.
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hä, und wo ist das i hin? Kann ich das weglassen bei der Betrachtung?
Und wieso 3a^2b - b^3 = 0 warum nicht = 1?

Und zu b) muss ich wirklich nur 1^7 bis 7^7 berechnen um die Einheitswurzeln zu bestimmen?

c) Ich überleg nochmal smile
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
wir machen doch einen koeffizientenvergleich, der realteil soll doch 1, der
imaginärteil 0 sein, deswegen.
zu b) siehe mein edit. also 1^3 bis 7^3 berechnen und sehen, ob irgendwann
1 rauskommt, mehr elemente gibt es in diesem körper ja nicht.
Und viel spass bei c)
 
 
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie muss ich jetzt den Koeffizientenvergleich machen? Gleichsetzen und dann?
3a²b - b³ = a³ - 3ab² - 1
Was muss gleich was sein?
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

b) wäre dann anscheienend geklärt, indem man immer einsetzt: 0^3 mod 7, 1^3 mod 7 ... 7^3 mod 7...

und dann nur die rausschreiben, die x^3=1 sind....

c) Müsste ich nochmal überdenken, aber spontan würde ich sagen es gibt einen, nämlich Restklassenkörper mod 3?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
c) ist richtig, Freude es gibt aber sogar einen noch kleineren körper, nämlich F_2, der
besteht nur aus den elementen 0 und 1. (deine lösung wäre der körper F_3).

Und das richtige gleichungssystem hatte ich dir ja schon in meinem 2.post gesagt,
und da ist es sinnvoll, wenn man eine fallunterscheidung macht, nämlich einmal
b=0 und einmal b ungleich 0.
gruss ollie3
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

3a²b - b³ = 0

Dann müsste ich wie umformen, dass ich da was rausbekomme? Blicke da gerade nicht durch...

Ich hätte jetzt +b³ und /3a² gemacht, dann b = (b³)/(3a²)

Bringt mich aber nicht weiter Big Laugh
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ollie ist gerade nicht da...

Zitat:
Original von bob123
3a²b - b³ = 0


Das hat, wie Ollie schon geschrieben hat, eine Triviallösung, nämlich b=0. Welche außerdem?

Diese Lösungen für b setzt Du nun in die andere Gleichung a³-3ab²=1 ein.

Viele Grüße
Steffen
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok, also a³=1 ?

Dann hätte ich aber nur 2 Lösungen :O

Nämlich 1 und 0. Wo bekomme ich die 3. Lösung her?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, hat 3a²b-b³=0 noch zwei weitere Lösungen für b. Welche?
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

a³ - 3ab² =1
3a²b - b³ =0

Hä, bin ich jetzt so doof oder komm ich nur nicht drauf? a³ = 1, dann muss a² ja bekanntlich auch 1 sein, dann ist 3b - b³ = 0 - Ich steh gerade total auf dem Schlauch...
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wir suchen doch alle Wertepaare a und b, für die gilt

a³ - 3ab² =1
3a²b - b³ =0

Nun haben wir ja bei der zweiten Gleichung gesehen, dass die durch b=0 erfüllt wird. Das in die erste eingesetzt, ergab a=1. Das ist das erste Wertepaar, das die komplexe Gleichung (a+ib)³=1 erfüllt. Und damit hast Du auch schon die erste komplexe Lösung der Gleichung C³=1, nämlich die komplexe Zahl 1+i*0, also einfach die reelle 1.

Es muss aber drei komplexe Lösungen, also drei Wertepaare geben! Nun haben wir ja b=0 abgehandelt, dann dürfen wir bei 3a²b-b³=0 diesen Fall ausschließen und getrost auf beiden Seiten durch b dividieren.

Kommst Du nun weiter?
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... 3a²b-b³=0 - Wieso darf ich jetzt durch b dividieren?
Wenn ich das mache, dann hab ich doch stehen:

3a²-b² = 0 oder?

Wenn dem so wäre, dann 3a² beispielsweise 2, 3*4=12

12-b² = 0

12 = b²
Wurzel aus (2,12) wäre dann noch eine Lösung für das Wertepaar?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bob123
Wieso darf ich jetzt durch b dividieren?


Weil wir jetzt den Fall "b ungleich Null" untersuchen. Nur deshalb.

Zitat:
Original von bob123
Wenn ich das mache, dann hab ich doch stehen:

3a²-b² = 0 oder?


Richtig, also b²=3a². Jetzt setz das in die andere Gleichung ein und löse auf.
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, bekomme dafür a= -0,5...

Muss wahrscheinlich jetzt in die 3a²-b² einsetzen oder?

3*0,25 - b² = 0
0,75 = b²

Dann hätte ich das Wertepaar (-0,5, Wurzel(0,75)) ?

Also (-1/2 + Wurzel 0,75 * i) als komplexe Lösung

//Oops falsch gerechnet smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von bob123
Gut, bekomme dafür a= -0,5...


Richtig.

Zitat:
Original von bob123
3*0,25 - b² = 0
0,75 = b²

Dann hätte ich das Wertepaar (-0,5, Wurzel(0,75)) ?


Ja, allerdings plusminus die Wurzel, wie immer, wenn man radiziert:



Nun hast Du alle drei Lösungen:

Viele Grüße
Steffen
bob123 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön,

Ich habe jetzt b) und c) auch noch ausformuliert und es ist aufjedenfall logisch smile

Jetzt an die anderen Aufgaben unglücklich
philipp123 Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe b)
Hi bearbeite gerade die selbe Aufgabe

Den Hauptteil der Aufgabe habe ich verstanden allerdings komme ich auch mit eurem Typ zu b) nicht wirklich zurecht könntet ihr ein Beispiel für die ausgeschriebene Rechnung machen?

Schonmal Danke
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