komplizierte Ungleichung lösen

04.11.2013, 10:58	Bienenstier	Auf diesen Beitrag antworten »
komplizierte Ungleichung lösen Hallo ihr Lieben, bei folgender Aufgabe komme ich einfach nciht weiter: Sei $\begin{eqnarray} K \in \mathbb N \end{eqnarray}$ . Beweisen Sie: Es existiert ein N $\begin{eqnarray} \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , so dass $\begin{eqnarray} k^{n} < n! \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n\geq N \end{eqnarray}$ gilt. Meine Idee: Vollständige Induktion. So komm ich bis zu meinem "letzten" Schritt: $\begin{eqnarray} k<n+1 \end{eqnarray}$ Zuvor hatte ich eben die ganz normalen Induktionsschritte gemacht, sodass ich am Ende auf diese Zeile kam. Nur weiß ich jetzt leider einfach nicht, wie es weiter geht ... Ich habe absolut keine Ahnung. (Sollte der Rest meiner Rechnung noch wichtig sein, dann kann ich es ja gerne noch einmal hinschreiben, aber bis dahin bin ihc mir sicher, dass es geht ) Danke euch.
04.11.2013, 11:23	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich würde eher interessieren, wie dein Induktionsanfang aussieht. -------------------------------- Alternative: Durch vollständige Induktion kann man z.B. $\begin{eqnarray} \left( \frac{n}{e} \right)^n < n! \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ nachweisen. Deine Behauptung ist dann eine Folgerung, indem man $\begin{eqnarray} N\geq ek \end{eqnarray}$ wählt.
04.11.2013, 11:28	Bienenstier	Auf diesen Beitrag antworten »
Das mit dem Induktionsanfang ist so eine Sache ... Den hatte ich erst einmal außen vor gelassen Mir ist deine Alternative irgendwie nicht ganz klar. Ich ersetze in dem ersten Schritt also mein k durch $\begin{eqnarray} (\frac{n}{e}) ^{n} \end{eqnarray}$ ? Ok. So kann ich dann schonmal einen Induktionsanfang zeigen und den Rest probiere ich dann jetzt mal aus

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