Beweis Äquivalenz negierter Teilmengen

04.11.2013, 13:55

Briti

Beweis Äquivalenz negierter Teilmengen

Ob die Überschrift so korrekt ist? Ich hoffe die erfahrenen Mathematiker kriegen davon keinen Augenkrebs.

Also, ich hab die Aufgabe A und B beliebige Teilmengen einer festen Grundmenge M und soll beweisen
$\begin{eqnarray*} A \subseteq B <=\Rightarrow NichtB \subseteq NichtA \end{eqnarray*}$

Ich habe mehrere Ansätze, die ich teilweise durch die gemachten Venn-Diagramme habe bzw. durch Recherche.

$\begin{eqnarray*} B = A \cup B A = A \cap B B = NichtA / NichtB NichtB \cup NichtA = NichtA \end{eqnarray*}$

Nun komme ich aber nicht weiter, wo muss ich denn jetzt ansetzen? Ich hatte schon versucht B in B = A U B mit NichtA \ NichtB einzusetzen, aber das war eine Sackgasse. Kann mir bitte jemand die Augen öffnen?

04.11.2013, 14:13

kgV

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Ich würde eher bei der Definition der Teilmengenrelation anfangen - das was du aufgeführt hast, gilt teilweise nur, wenn du die zu zeigende Äquivalenz voraussetzt, was du klarerweise nicht tun darfst...

Wie ist denn die Teilmengenrelation definiert?
Was gilt dann für alle x in A?
Wenn x nun nicht in B ist, kann es dann in A sein?

Das und die Definition von "nicht B" als $\begin{eqnarray*} M\setminus B \end{eqnarray*}$ dürfte dir weiterhelfen smile

Lg
kgV

04.11.2013, 21:05

Briti

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Also die Definition ist
$\begin{eqnarray*} A\subseteq B = {xI \forall x \in A \Rightarrow x\in B} \end{eqnarray*}$
Also ich hoffe die Notation ist korrekt, ich hatte erst
$\begin{eqnarray*} (x\in A)\in B \end{eqnarray*}$
geschrieben. Aber "alle x aus A

Alle x aus A sind in B enthalten, aber wenn das Element nicht in B ist, dann auch nicht in A.
$\begin{eqnarray*} \forall x \in A \Rightarrow x\in B \end{eqnarray*}$

Wie gibt man denn "wenn, dann" in Mengenlehre an? unglücklich

Tut mir leid, ich sehs einfach nicht wie man dadurch von einer Seite zur anderen kommt. Logisch ist mir alles klar was du sagst.

04.11.2013, 21:13

kgV

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"Wenn p, dann q" wird $\begin{eqnarray*} p\Rightarrow q \end{eqnarray*}$ geschrieben, wie du auch richtig verwendet hast.
Nur mit deiner ersten Teilmengendefinition bin ich nicht zufrieden, die zweite Variante $\begin{eqnarray*} \forall x\in A: x\in B \end{eqnarray*}$ ist richtig

und du bemerkst ganz nebenbei richtigerweise, dass

Zitat:

wenn das Element nicht in B ist, dann auch nicht in A.

Das schreib lieber mal fett, weil das der springende Punkt ist. Ist x nicht in B, dann ist x auch nicht in A

Überleg dir mal, wie du "x nicht in B ( $\begin{eqnarray*} x\notin B \end{eqnarray*}$ )" mit Hilfe von M und einer Mengenrelation ausdrücken kannst, gleiches für "x nicht in A ( $\begin{eqnarray*} x\notin A \end{eqnarray*}$ )"
Danach kannst du deinen Satz von oben in eine Inklusion verwandeln und bist fertig

04.11.2013, 22:21

Briti

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$\begin{eqnarray*} x\in M \setminus x\in B \Rightarrow x\in M \setminus x\in A \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall x \notin B : x \notin A \end{eqnarray*}$

Da fehlt doch noch etwas, oder? Wohin verschwindet denn die Grundmenge? Bei dem Komplement brauch man es als Abgrenzung von der Unendlichkeit oder? Aber bei dem ersten Teil könnte man höchstens sagen
$\begin{eqnarray*} x \in A \cap x \in M \end{eqnarray*}$
Mh, und das Komplement umwandeln in M \cap NichtB? Muss ich nochmal aufschreiben ob das was bringt.

04.11.2013, 22:36

kgV

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Aus Schreibtechnischer Sicht ist deine Form noch korrekturwürdig, obwohl du offensichtlich das richtige meinst:
$\begin{eqnarray*} M\setminus B=\{x|x\in M\wedge x\notin B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M\setminus A=\{x|x\in M\wedge x\notin A \end{eqnarray*}$ wären die Definitionen der Mengen

Dann gilt $\begin{eqnarray*} x\in(M\setminus B)\Rightarrow x\in(M\setminus B) \end{eqnarray*}$ , äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \forall x\in M: x\notin B:x\notin A \end{eqnarray*}$ , was äquivalent zu $\begin{eqnarray*} \forall x\notin B:x\notin A \end{eqnarray*}$ ist, weil M als Grundmenge von vornherein festgelegt ist. Jetzt hast du auch die Abgrenzung zur Unendlichkeit, die du vermisst hast

Schau dir nun die letzte Formel ganz scharf an. Erkennst du irgendeine Inklusion, wird da irgendetwas als Teilmenge von etwas anderem definiert? Schreib das mal um, und du wirst staunen Augenzwinkern

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