Bedingter Erwartungswert

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Peter Parker Auf diesen Beitrag antworten »
Bedingter Erwartungswert
Meine Frage:
Bei der Frage handelt es sich um den im Angang beigefügten Aufgabenblatt.


Meine Ideen:
Ich habe es so verstanden, dass wir erstmal unseren Maßraum betrachten das Intervall [0,1] spiegelt unser Omega wieder, unser F ist ja unsere Sigma-Algebra in diesem Fall die Borelsche-Sigma Algebra also die kleinste Sigma Algebra im topologischen Raum bzw. unserem Intervall [0,1]. Leider fehlt mir jetzt der Denkanstoß wie ich den Erwartungswert ermitteln soll bzw. den lim der nach unenglich strebt wie würde man Anfangen mit so einer Aufgabe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

ist erfreulicherweise diskret mit den atomaren Grundereignissen

.

Die bedingte Erwartung hat ja nun als Funktion hat ja nun wegen der geforderten -Messbarkeit die Eigenschaft, auf diesen Mengen konstant zu sein, außerdem muss



gelten. Daraus folgt für :

,

oder als Riemann-Integral geschrieben:

für .

Was bewirkt also die bedingte Erwartung? Sie ersetzt auf den atomaren Mengen der Bedingungs-Sigmaalgebra die Originalwerte der Zufallsgröße durch die entsprechenden Mittelwerte auf dieser atomaren Menge.


Mit wachsenden n werden diese atomaren Mengennatürlich immer filigraner, und du kannst dir denken, was dann bei zusätzlich angenommener Stetigkeit von mit den passiert...
Peter Parker Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Vielen Dank für diese sehr ausführliche Antowrt!

Ich habe soweit auch alles verstanden, das einzige was ich nicht ganz nachvollziehen kann ist wenn n nach unedlich strebt.

Also ich würde mir denken wenn n sehr groß wird das die Grenzen durch n sehr stark sich annähern und dadurch das Integral klein wird. Auf der anderen Seite durch 10^n vor dem Integral wächst es ja auch meine Frage also kann man einfach pauschal sagen, dass das Integral kleiner wird man weiß ja nicht ob es durch n schneller wächst oder kleiner wird.

Vielen Dank schon einmal!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich darauf hinaus, dass dann punktweise gegen konvergiert.
Peter Parker Auf diesen Beitrag antworten »

Achso gut ja das macht Sinn, ich habe hier noch eine weitere Aufgabe wo ich meine Gedanken nicht ganz in Worte fassen kann vielleicht kannst du mir dort auch weiter helfen ?

Ich habe es so verstanden quadratisch integrierbar beudetet ja, dass das Integral kleiner als unendlich ist. Sprich endlicher Raum R. Eigentlich ist doch danach gefragt egal ob X auf Y bedingt ist odeer Y auf X , dass wir den gleichen Erwartungswert bekommen wie kann man das beweisen ?

Vielen Dank
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Guter Hinweis!

Es ist .

Nun ist ja , das kannst du z.B. auf anwenden und unter Nutzung der Rechenregeln der bedingten Erwartung umformen/vereinfachen.
 
 
Peter Parker Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das hat mir sehr bei meiner Lösung weiter geholfen!
Ich hab vorerst noch eine letzte abschließende Frage die dem post beigefügt ist.

Also ich denke mal soll wie folgt vorgehen wir haben eine iid Verteilung, wir sollen beide Integrale bilden und dann zeigen dass beide ausdrücke gleich sind. Dazu benötigen wir die Transformationsformel ich hab zwar ansätze komme aber auch keine anständige Lösung.

Vielen Dank
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es dir hier im Board gefällt, könntest du langsam auch mal dazu übergehen, die Formeln selbst im LaTeX zu schreiben:

Bei derart kurzen Zeilen geht das fast schneller als deine Screenshot-Methode, es ist besser lesbar - und nicht zuletzt ist es auch für den Helfer einfacher, weil er dann schön zitieren kann...

Nun Ok, diesmal lasse ich es noch durchgehen. Augenzwinkern


Zum Inhalt: Hmm, viel mehr als dass diese Behauptung äquivalent ist zu , fällt mir erstmal nicht ein.
Peter Parker Auf diesen Beitrag antworten »

Danke nochmal für den Hinweis ! ich habe eine neues Problem gepostet falls du es dir mal anschaun könntest wäre ich dir sehr verbunden? Vielen Dank!

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