Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)

04.11.2013, 16:10

Gnus

Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)

Guten Tag alle miteinander!

Ich finde bei folgender Aufgabe keinen Ansatz.

Aufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} B \subset \mathbb R^{d} \end{eqnarray*}$ messbar, $\begin{eqnarray*} f \in L(B) \end{eqnarray*}$ (L ist die Menge der Lebesgue integrierbaren Funktionen auf B) und stetig in $\begin{eqnarray*} \xi \in B \end{eqnarray*}$ . Sei $\begin{eqnarray*} (B_j) \end{eqnarray*}$ eine Folge von messbaren Gebieten mit positivem Inhalt $\begin{eqnarray*} \mu (B_j) \end{eqnarray*}$ , die sich auf $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zusammenzieht, d.h. $\begin{eqnarray*} \forall \varepsilon >0 \exists j_0 \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} B_j \subset U(\xi,\varepsilon) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} j \geq j_0 \end{eqnarray*}$ .

Man zeige: dann gilt $\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} \frac{1}{\mu(B_j)} \int_{B_j} \! f(x) \, dx = f(\xi) \end{eqnarray*}$ .

Ansätze:
Ich finde keinen Draht zu dieser Aufgabe.

Da sich der positive Inhalt auf $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zusammenziehen soll, müsste gelten $\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} \mu(B_j) = 0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} \frac{1}{ \mu(B_j)} = \infty \end{eqnarray*}$ .

Zudem müsste $\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} \int_{B_j} \! f(x) \, dx = 0 \end{eqnarray*}$ sein, da $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ immer kleiner wird.

Von der Anschauung her, ist mir prinzipiell klar was die Aussage aussagt, aber nicht warum sie gilt. Für j gegen Unendlich nähern wir unseren Integrationsbereich immer mehr $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ an bis wir nur noch $\begin{eqnarray*} \int_{\xi-\varepsilon}^{\xi+\varepsilon} \! f(x) dx \end{eqnarray*}$ bestimmen. Dies Multiplizieren wir mit dem Kehrwert der Länge des Intervalls $\begin{eqnarray*} [\xi-\varepsilon,\xi+\varepsilon] \end{eqnarray*}$ . Aber wieso erhalten wir dann $\begin{eqnarray*} f(\xi) \end{eqnarray*}$ ?

Über Ansätze/Ideen würde ich mich freuen.

MfG

04.11.2013, 19:24

EinGast

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)
man kann die Behauptung in der Form

$\begin{eqnarray*} \lim_{j\to \infty}\frac{1}{\mu(B_j)} \int_{B_j}[f(x)-f(\xi)]\, dx=0 \end{eqnarray*}$

zeigen

04.11.2013, 20:39

Gnus

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)
Hallo und danke für Deine Antwort!

Ich habe jetzt folgenden Ansatz erarbeitet.

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} \xi \Rightarrow \xi \end{eqnarray*}$ ist Lebesgue-Punkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\mu(U(\xi,\varepsilon))} \int_{U(\xi,\varepsilon)} \! |f(x)-f(\xi)| \, dx =0. \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} j \geq j_0 \end{eqnarray*}$ folgt also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} \frac{1}{\mu(B_j)} \int_{B_j} \! |f(x)-f(\xi)| \, dx =0. \end{eqnarray*}$

Nun ist $\begin{eqnarray*} f(\xi) \end{eqnarray*}$ konstant. Wie kann ich es aber aus dem Betrag und Integral rausziehen?

Ich möchte ja auf $\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty} \frac{1}{\mu(B_j)} \int_{B_j} \! f(x) \, dx -f(\xi) =0 \end{eqnarray*}$ kommen.

MfG

04.11.2013, 21:30

EinGast

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)

Zitat:

Original von Gnus
$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} \xi \Rightarrow \xi \end{eqnarray*}$ ist Lebesgue-Punkt von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

Wenn du das verwenden darfst, dann ist natürlich nichts mehr zu zeigen. Aber ich denke, der Sinn der Aufgabe besteht gerade darin, diese Implikation zu beweisen...

04.11.2013, 21:37

Gnus

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)
Die Implikation haben wir im Tutorium bewiesen, sie darf also sicher verwendet werden. Die Aufgabe ist explizit wie oben genannt gestellt.
smile

Ich sehe trotzdem nicht wie ich vom von mir letzten genannten Schritt zur Behauptung komme...

04.11.2013, 22:14

EinGast

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)
Sorry, ich habe zuerst die Aufgabenstellung nicht genau genug gelesen und gemeint, die $\begin{eqnarray*} B_j \end{eqnarray*}$ seien Kugeln, was sie aber nicht sind. Dh, die Situation in der Aufgabe ist etwas allgemeiner als in der Definition des Lebesgue-Punktes.

Man kann aber die Aufgabe auch leicht direkt lösen, ohne Lebesgue-Punkte zu benutzen. Um die Gleichung aus meinem ersten Post zu zeigen, braucht man fast nur noch die Stetigkeit von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ ... (so ähnlich habt ihr das vermutlich auch im Tutorium gemacht)

05.11.2013, 20:41

Gnus

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)
So EinGast.

Ich habe jetzt noch einmal mit Hilfe deiner Ratschläge versucht die Aufgabe zu lösen und komme so weit:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon >0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ .

Aus der Stetigkeit folgt nach Definition:
$\begin{eqnarray*} \exists \delta >0: |f(\xi)-f(x)| \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x \in U(\xi,\delta) \end{eqnarray*}$ .

Es folgt mit Hilfe einer Ungleichung aus meinem Tutorium:

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \frac{1}{\mu(U(\xi,\delta))} \int_{U(\xi,\delta)} \! |f(\xi)-f(x)| \, dy \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} j \geq j_0 \end{eqnarray*}$ also insbesondere:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\mu(B_j)} \int_{B_j} \! |f(\xi)-f(x)| \, dy \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?
Wie mache ich jetzt den letzten Schluss um auf die Behauptung zu kommen?

MfG

05.11.2013, 22:04

Gnus

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)
Schreibfehler: die Integrale enden mit $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ nicht mit $\begin{eqnarray*} dy. \end{eqnarray*}$

06.11.2013, 08:22

EinGast

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)

Zitat:

Original von Gnus

Für $\begin{eqnarray*} j \geq j_0 \end{eqnarray*}$ also insbesondere:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\mu(B_j)} \int_{B_j} \! |f(\xi)-f(x)| \, dy \leq \varepsilon \end{eqnarray*}$

warum? Im allg. folgt aus $\begin{eqnarray*} \Omega_1\subset \Omega_2 \end{eqnarray*}$ nicht, dass der Mittelwert über $\begin{eqnarray*} \Omega_1 \end{eqnarray*}$ kleiner oder gleich dem Mittelwert über $\begin{eqnarray*} \Omega_2 \end{eqnarray*}$ ist, falls du so etwas im Sinn hattest.

Aber wie oben schon gesagt: ich würde den Mittelwert über die Kugeln ganz weglassen, scheint mir nicht viel zu bringen für diese Aufgabe

06.11.2013, 09:08

Gnus

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)

Zitat:

Aber wie oben schon gesagt: ich würde den Mittelwert über die Kugeln ganz weglassen, scheint mir nicht viel zu bringen für diese Aufgabe

Dann verstehe ich nicht wie ich mittels der Stetigkeit die Behauptung zeigen kann.

06.11.2013, 09:20

Gnus

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RE: Gleichung zeigen (Inhalt, Messbarkeit, Stetigkeit)
Okay!

Habe es hinbekommen. Hammer