Äquivalenzrelation

04.11.2013, 18:32

Lynn2

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Äquivalenzrelation

Meine Frage:
Zeigen Sie: Wenn $\begin{eqnarray*} f: A->B \end{eqnarray*}$ eine Abbildung ist, dann wird durch $\begin{eqnarray*} a_1~a_2 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f(a_1) = f(a_2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ definiert.

Meine Ideen:
Eine Äquivalenzrealtion ist eine Relation, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Soll ich diese Eigenschaften nun an $\begin{eqnarray*} f(a_1) = f(a_2) \end{eqnarray*}$ zeigen? Oder wie ist die Aufgabe gemeint?
Für mich klingt die Aufgabe etwas komisch, als wenn ein Wort fehlen würde.

04.11.2013, 18:42

kgV

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Übersetzt bedeutet das " $\begin{eqnarray*} a_1 \end{eqnarray*}$ ist genau dann äquivalent zu $\begin{eqnarray*} a_2 \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2) \end{eqnarray*}$ "

Und wie du das zeigst, weißt du, oder? Deine dahingehende Frage klingt nicht mal schlecht smile

smile

Lg
kgV

Wink

04.11.2013, 18:59

Lynn2

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RE: Äquivalenzrelation
Reflexivität: ja, da $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_1) \end{eqnarray*}$
Symmetrie: ja, da $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2)<=> f(a_2)=f(a_1) \end{eqnarray*}$
Transivität: ja, da $\begin{eqnarray*} f(a_1)=f(a_2) \wedge f(a_2)=f(a_3)\Rightarrow f(a_1)=f(a_3) \end{eqnarray*}$

So?

LG zurück

04.11.2013, 19:03

kgV

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RE: Äquivalenzrelation
Genau so smile

smile

Eventuell noch explizit ergänzen, dass aus deinen Folgerungen auch die Äquivalenz folgt, aber das ist nur noch Formsache. Der Kern des Beweises stimmt Freude

Freude

04.11.2013, 19:13

Lynn2

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RE: Äquivalenzrelation
Vielen Dank. Ich werde das noch etwas ausschmücken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

2. Teilaufgabe:
Sei $\begin{eqnarray*} "~" \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation auf $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass es eine Menge B und eine surjektive Abbildung $\begin{eqnarray*} f: A->B \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} a_1~a_2 \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} f(a_1) = f(a_2) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a_1,a_2 \in A \end{eqnarray*}$ .

Surjektiv heißt, dass jedes a ein f(a), also b, besitzt, dabei kann es auch vorkommen, dass zwei verschiedene a das gleiche b haben. Soweit mein Verständnis dazu.

Doch wie ist diese Aufgabe zu verstehen?

04.11.2013, 19:30

kgV

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RE: Äquivalenzrelation
Da weiß ich jetzt spontan keinen wirklich gescheiten Ansatz, die Nachfrage überrumpelt mich ein wenig...

edit: falsche "Vielleicht-Lösung" von vorhin entfernt

Wenn jemand einen Lösungsweg hat, kann er/sie gerne hier weitermachen

Nur eines:

Zitat:

Surjektiv heißt, dass jedes a ein f(a), also b, besitzt, dabei kann es auch vorkommen, dass zwei verschiedene a das gleiche b haben. Soweit mein Verständnis dazu.

Surjektiv heißt etwas leicht anderes: Jedes b hat ein a, so dass b der Funktionswert von f an der Stelle a ist: $\begin{eqnarray*} \forall b\in B:\exists a\in A: f(a)=b \end{eqnarray*}$

Dass jedes a ein b hat, ist in der Definition des Wortes "Funktion" enthalten Augenzwinkern

Augenzwinkern

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04.11.2013, 20:22

Che Netzer

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RE: Äquivalenzrelation
Kurz die Idee:

Die Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist hier die Menge der Äquivalenzklassen, falls der Begriff schon geläufig ist.
D.h. für $\begin{eqnarray*} a\in A \end{eqnarray*}$ setzt man
$\begin{eqnarray*} [a]_\sim:=\{a'\in A:a\sim a'\}\,. \end{eqnarray*}$
Dann sei $\begin{eqnarray*} B=\bigl\{[a]_\sim:a\in A\bigr\} \end{eqnarray*}$ .

04.11.2013, 20:45

kgV

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@Lynn2: Kommst du mit der Idee von Che Netzer weiter?

Inzwischen habe ich den Beweis, danke dir, Che smile

smile

04.11.2013, 21:30

Lynn2

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Die Idee von Che ist mir leider komplett neu, wäre super lieb von euch, wenn ihr das etwas genauer erklären könntet.

04.11.2013, 21:32

kgV

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Was eine Äquivalenzklasse ist, weißt du? Damit steht und fällt der Beweis... smile

smile

04.11.2013, 22:07

Lynn2

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Der Begriff ist schon mal gefallen, aber wäre supi, wenn du nochmal auf Deutsch Augenzwinkern

Augenzwinkern

erklären könntest, was Äquivalenzklassen sind und warum wir diese für den Beweis nutzen. Gott

Gott

04.11.2013, 22:28

kgV

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Die Äquivalenzklasse von a bezüglich der Relation $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ , geschrieben $\begin{eqnarray*} [a]_\sim \end{eqnarray*}$ , ist die Menge aller x aus A, die zu a äquivalent sind (da wird sich Che verschreiben haben, es müsste $\begin{eqnarray*} [a]_\sim=\{x\in A|x\sim a\} \end{eqnarray*}$ lauten wobei mein x sein $\begin{eqnarray*} a' \end{eqnarray*}$ ist)

Die Menge B, der Wertebereich unserer Funktion f ist nun die Menge aller Äquivalenzklassen aller a aus A, also die Menge aller Mengen von Elementen aus A, die zu einem bestimmten Element a aus A äquivalent sind. Klingt kompliziert, ist es aber nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn wir nun die Menge b betrachten, bzw ein Element davon: $\begin{eqnarray*} b_0\in B \end{eqnarray*}$ , was können wir aufgrund der Definition von B über dieses Element $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ aussagen? Welche Gestalt hat es?

Wenn du das beantwortet hast, schauen wir uns an, wie wir das für den Beweis der Surjektivität von f verwenden können/ wie f aussehen muss, damit es surjektiv ist

04.11.2013, 22:52

Che Netzer

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Zitat:

Original von kgV
da wird sich Che verschreiben haben

Wieso?

verwirrt

04.11.2013, 22:54

kgV

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Hammer

Mein Fehler, wie üblich... Die beiden Fälle sind hier ja äquivalent

damit ist bewiesen, dass ich besser schlafen gehen sollte. Gute nacht wünsche ich Schläfer

Schläfer

05.11.2013, 18:09

Lynn2

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Das b muss ja dann einer Äquivalenzklasse entsprechen, wenn B die Menge aller Äquivalentklassen ist. verwirrt

verwirrt

05.11.2013, 18:11

kgV

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Jawoll, und zwar einer Äquivalenzklasse wovon? Das ist der entscheidende Punkt smile

smile

05.11.2013, 19:25

Lynn2

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Äquivalenzklassen von a

05.11.2013, 19:28

kgV

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Hä? Da wirst du dich wohl im Thema vertan haben Augenzwinkern

Augenzwinkern

eigentlich sollte das wohl dorthin

05.11.2013, 19:36

Lynn2

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Schon geändert. Danke für den Hinweis. Freude

Freude

05.11.2013, 19:39

kgV

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Ja, $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ ist eine Äquivalenzklasse eines Elements aus A. $\begin{eqnarray*} b_0=[a_0]_\sim, a_0\in A \end{eqnarray*}$

Damit dürfte die Funktion nun klar sein? Weil jedes Element aus B eine Äquivalenzklasse eines Elementes aus A ist (nach der Definition von B), wie muss dann die Funktionsvorschrift lauten, dass f surjektiv ist?

05.11.2013, 20:18

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} b_0 = [a]_0 \end{eqnarray*}$

05.11.2013, 20:21

kgV

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Nein, das gilt schon mal nicht. Angenommen, es gäbe mehrere Elemente aus a, die äquivalent zu $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ sind, so wäre die Zuordnungsvorschrift mehrdeutig und keine Funktion mehr... Von surjektiv reden wir gar nicht Augenzwinkern

Augenzwinkern

Schau dir den Zusammenhang zwischen $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und b noch mal in Ruhe an. Wie wird denn $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ , das du als $\begin{eqnarray*} f(a_0) \end{eqnarray*}$ auffassen kannst, definiert? was ist denn $\begin{eqnarray*} f(a_0) \end{eqnarray*}$ ? Was heißt das verallgemeinert?

edit: dein Edit stimmt zwar, abgesehen von der falschen Platzierung des Index (Tippfehler), aber das bringt dich nicht weiter (oder vielleicht schon: Setze $\begin{eqnarray*} b_0=f(a_0) \end{eqnarray*}$ und schau dann, was das für f bedeutet)

05.11.2013, 20:29

Lynn2

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Das bedeutet, dass die Funktion eine Äquivalenzklasse von a, welches Element von A ist, ist.

05.11.2013, 20:31

kgV

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Deine Idee scheint mir zu stimmen smile

smile

Kannst du das noch in mathematische Form übertragen, also $\begin{eqnarray*} f:A\to B,\cdots \end{eqnarray*}$ ?

05.11.2013, 20:40

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} f:[a_0]\to b_o \end{eqnarray*}$ ?

05.11.2013, 20:46

kgV

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Nein, das trifft es nicht so ganz - deine Schreibweise liefert eine konstante Funktion, weil vorne und hinten unterschiedliche Variablen/Konstanten vorkommen. Das ist so, als würde man $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\to \mathbb R, x\mapsto 5 \end{eqnarray*}$ definieren. Diese Funktion ist auch nicht surjektiv.

Es wird ja a auf die Äquivalenzklasse von a abgebildet, wie muss die Funktion also aussehen?

05.11.2013, 21:09

Lynn2

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$\begin{eqnarray*} f:[a_0]\to [a_0] \end{eqnarray*}$
Meinst du so? Oder generell eine andere Schreibweise?

05.11.2013, 21:14

kgV

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Geht schon in die richtige Richtung...
Nur: es wird von a auf die Äquivalenzklasse von a abgebildet, also lautet die Funktion $\begin{eqnarray*} f:A\to B,a\mapsto[a]_\sim \end{eqnarray*}$ . Damit gilt auch $\begin{eqnarray*} b=[a_0]_\sim=f(a_0),a_0\in A \end{eqnarray*}$ . Weil das jetzt für jedes b aus B gilt, ist f surjektiv

05.11.2013, 21:25

Lynn2

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Ach ja na klar. Hammer

Hammer

Vielen Dank.
Und das reicht aus, wenn ich das so als Lösung hinschreibe?

05.11.2013, 21:26

kgV

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Die Angabe der Funktion f und der Menge B nebst Nachweis der Surjektivität von f sollte eigentlich genügen, ja smile

smile

05.11.2013, 21:33

Lynn2

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Freude

Freude

Freude

DANKE.

smile

05.11.2013, 21:34

kgV

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Gern geschehen smile

smile

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