Beweis Ableitung (bei totaler Differenzierbarkeit)

04.11.2013, 19:15

Lomex

Beweis Ableitung (bei totaler Differenzierbarkeit)

Meine Frage:
Hallo an alle,

ich habe hier eine Aufgabe, bei der ich nicht ganz weiterkomme.

Da ich nicht weiß, wie ich hier diese mathematischen Zeichen hinschreibe, habe ich ein Screenshot von der Aufgabe hochgeladen, damit man auch alles richtig versteht.

Meine Ideen:
mein Ansatz sieht so aus, dass ich mich auf die Gleichung f (tx)= t^a f(x) ( das a soll das alpha aus der Aufgabenstellung sein)
beziehe und folgendermaßen vorgehe:

zu zeigen:

g(t) = f(tx)

meine Vorgehensweise:

g (t)= f(tx)=t^a f(x)

dann g(t) ableiten:

(ich schreibe für die Ableitung g'(t). Ich weiß, dass man das eigentlich nicht machen soll, aber ich mache es jetzt der Einfachheit halber mal so)

g'(t)= a* t^(a-1)f(x)

nun setze ich, wie in der Aufgabe als Hinweis angegeben das t=1.

g'(1) = a* 1^(a-1) f(x)
= a* f(x)

somit hätte ich es ja auf die eine Weise gelöst oder? Kann das jemand bestätigen? Zudem soll ich es aber auch auf eine zweite Art lösen. Da komme ich aber nicht weiter. kann mir vllt. jemand helfen?

Ich wäre euch sehr dankbar!

05.11.2013, 10:04

EinGast

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RE: Beweis Ableitung (bei totaler Differenzierbarkeit)
Hallo,

Zitat:

Original von Lomex
zu zeigen:

g(t) = f(tx)

das ist eine Definition, dh das ist nicht zu zeigen.

Zitat:

ich schreibe für die Ableitung g'(t). Ich weiß, dass man das eigentlich nicht machen soll

warum nicht? Das ist doch eine übliche Schreibweise für die Ableitung einer Funktion mit einer Variablen

Zitat:

g'(t)= a* t^(a-1)f(x)

nun setze ich, wie in der Aufgabe als Hinweis angegeben das t=1.

g'(1) = a* 1^(a-1) f(x)
= a* f(x)

somit hätte ich es ja auf die eine Weise gelöst oder?

richtig. Damit hast du gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} g'(1) \end{eqnarray*}$ die rechte Seite der zu beweisenden Gleichung ist.
Nun kannst du zuerst $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ anders schreiben und dann $\begin{eqnarray*} g'(1) \end{eqnarray*}$ mit dieser anderen Darstellung noch auf eine zweite Art berechnen

05.11.2013, 17:19

Lomex

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RE: Beweis Ableitung (bei totaler Differenzierbarkeit)
Hallo,

vielen Dank erst einmal für deine Antwort.

Klar, du hast natürlich Recht. g(t)=f(tx) ist definiert, also vorgegeben. ich habe da etwas durcheinander gebracht.

Ich verstehe deinen Hinweis nicht so ganz. Meinst du mit g(t) anders schreiben etwa g(t)=f(tx)? also für g(t) einfach f(tx) schreiben und das dann nach t ableiten? Und dann für t wieder 1 einsetzen? Bin ich dann schon fertig?

Sorry, ich bin gerade total verwirrt...

05.11.2013, 17:27

EinGast

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RE: Beweis Ableitung (bei totaler Differenzierbarkeit)

Zitat:

Original von Lomex
Meinst du mit g(t) anders schreiben etwa g(t)=f(tx)? also für g(t) einfach f(tx) schreiben und das dann nach t ableiten? Und dann für t wieder 1 einsetzen?

ja, genau das meinte ich

05.11.2013, 17:41

Lomex

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RE: Beweis Ableitung (bei totaler Differenzierbarkeit)
hm...ok. Soweit habe ich es verstanden. Ich weiß jetzt leider nur nicht, wie ich f(tx) nach t ableiten soll. Könntest du vllt. einen kleinen Tipp geben?
Oder an einem Beispiel erläutern, wie es funktioniert?

05.11.2013, 19:25

EinGast

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RE: Beweis Ableitung (bei totaler Differenzierbarkeit)
Es sei $\begin{eqnarray*} h\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} h(t)=tx=(tx_1,\dots,tx_n) \end{eqnarray*}$

(dabei ist jetzt $\begin{eqnarray*} x=(x_1,\dots,x_n) \end{eqnarray*}$ ein fester Punkt in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ ). Dann kann man unsere Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ als Verknüpfung schreiben:

$\begin{eqnarray*} g(t)=(f\circ h)(t) \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist eine Funktion von $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Du kennst sicher die Kettenregel, die uns hier weiterhilft

05.11.2013, 19:53

Lomex

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RE: Beweis Ableitung (bei totaler Differenzierbarkeit)
meinst du vllt. das hier?

ich schicke mal nen Anhang, weil das zu kompliziert wäre, dass zu umschreiben.

05.11.2013, 20:25

Lomex

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ich habe jetzt versucht, ein wenig weiterzumachen und kam dann auf folgendes:

laut der kettenregel:

g'(t)= Df (tx) (für die äußere Ableitung) * x (die innere Ableitung von tx nach t)= <grad f (tx),x>.
wenn man jetzt t=1 setzt hätten wir g'(t)= <grad f(x),x>

zusammen mit dem, was ich vorher schon bewiesen habe, könnte man ja dann die zwei ergebnisse gleichsetzen.

also: g'(1)= a* f(x)
g'(1)= <grad f(x),x>

somit a* f(x)=<grad f(x),x>

geht das in die richtige Richtung?

sorry, wenn ich hier irgendwelche Fehler bezüglich der Schreibweise habe. Mathe ist bei mir sehr lange her...

05.11.2013, 20:47

EinGast

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ja genau, alles richtig!

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