Origami Winkelbeziehungen

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Robert Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
Origami Winkelbeziehungen
Meine Frage:
Folgendes Problem: Wie in der Zeichnung dargestellt, geht es mir darum die Winkelbeziehungen bei der sogenannten Fischgrätenfaltung darzustellen. Gegebene Werte sind:
a1, a2, b, e sowie x
gesucht ist der Winkel c1.
Wenn die Winkel in der Grafik nicht gut zu erkennen sind, versuche ich noch ein besseres Bild zu erstellen.

Folgende Fakten sind zu beachten: Die in der Draufsicht sichtbaren, äußeren linken und rechten, sowie mittleren Punkte liegen zu jeder Zeit auf den ihnen zugehörigen Geraden und müssen somit z.b. die selbe x-Koordinate besitzen ( auch bei Variation von x). Nach tagelangem in und her grübeln, sehe ich einfach nicht mehr durch. Es wäre sehr schön, wenn es jemand schafft den Winkel c1 in Abhängikeit von x darzustellen.

Meine Ideen:
Selber versucht habe ich viele verschiedene Ansätze. Ich hatte vermutet, dass sämtliche Winkeländerungen bei dieser Faltung in einem linearen Zusammenhang stehen. Da ich jedoch noch keinen finalen Erfolg erzielen konnte, sehe ich bei diesem Ansatz vll auch schwarz.
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Origami Winkelbeziehungen
Herzlich willkommen im Matheboard!

Ich muss zugeben, Deine Zeichnung auch nach längerem Anschauen noch nicht nachvollziehen zu können. Insbesondere verwirren mich die beiden verschiedenen Winkel, die beide den Namen x tragen.

Machen wir's doch so wie Occam und rasieren alle Linien weg, die nichts zum Thema beitragen. Meinst Du, das könntest Du tun? Also eine Anleitung für Dumme, wie man aus den gegebenen Größen (braucht man die alle dafür?) den Winkel c1 konstruiert.

Viele Grüße
Steffen
Robert Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
origami winkelbeziehungen
Guten Morgen Steffen,
du hast recht, die Bilder sind schwer nachzuvollziehen. Ich habe versuch tsämtliche Ansichten ein wenig besser zu gestalten.

Im Anhang "gräte2" ist auf der linken Seite eine Draufsicht auf die Faltlinien zu erkennen, wie man sie vorfinden würde, wenn man ein Origami aus einem Blatt Papier faltet und anschließend wieder komplett eben auseinander zieht. dabei sollen die "grünen" Linien sogenannte Bergfalten darstellen und die "roten" Linien Talfalten. Ich habe versucht diese Konvention in allen meinen Zeichnungen so beizubehalten. Auf der rechten Seite, im selben Bild, erkennt man eine räumliche Ansicht der Faltung inklusive Koordinatensystem. Die, hier eingezeichneten, Winkel C1 sind gleich groß (auf Grund der Perspektive wirken sie unterschiedlich groß) und stellen den Winkel dar, der sich aus der Projektion der Linien 4/3 4/2 sowie 4/1 auf die x-y-Ebene ergeben.

Wenn wir unseren Blick noch einmal auf die linke Seite der Zeichnung "gräte2" lenken, sehen wir 2 Winkel "a1" und "a2". Wenn diese beiden Winkel gleich groß sind, erhalten wir insgesamt eine Faltung wie sie in Abbildung "gräte4" zu erkennen ist. Hier sind jeweils die Tal- und Bergfalten parallel zueinander und die Faltung bleibt somit senkrecht zur x-y-Ebene. Wenn "a1" jedoch größer ist als "a2" ergibt sich eine Krümmung aus der Ebene der Faltung, wie in Abbildung "gräte3" zu erkennen. Sind die Winkel unterschiedlich, ergibt sich bei der Projektion der Linien 4/7 5/7 und 6/7 auf die x-y-Ebene ein anderer Winkel "c2" (hier nicht eingezeichnet um die Zeichnung übersichtlich zu halten Augenzwinkern ).

In der Zeichnung "gräte5" ist einmal ein einzelnes Segment herausgelöst, welches ebenfalls die Punkte 1-7 enthält, sozusagen mein Startelement. Wenn man eine Projektion auf die x-z-Ebene anfertigt, erkennt man zwischen den Linien 1/3 und 2/3 den Winkel "2*x".

Ein weiterer Punkt der zu erwähnen ist, ist der, dass die Punkte 1 und 6, 3 und 4 und 5 sowie 2 und 5 jeweils die exakt selbe x-Koordinate besitzen müssen, das bedeutet, dass die Linien 1/6 , 3/4/5 sowie 2/5 parallel zueinander sind. Bei unterschiedlichen Winkeln "a1" und "a2" müssen jedoch die Linien 6/7 und 1/4 nicht parallel zueinander sein (das gleiche auf der anderen Seite).

Mein allgemeines Ziel ist, diese Faltung zu programmieren und in Abhängigkeit der Winkeln "a1" "a2" und "x" zu variieren. Im Endeffekt benötige ich lediglich die Koordinaten der Punkte 1-7 in Abhängigkeit der 3, eben genannten, Winkel. Ich hab mich nur vermutlich schon so verknotet, dass ich eventuelle einfache Lösungen nicht mehr erkenne.

Ich hoffe die ganze Thematik ist nun etwas verständlicher geworden smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe die Fragestellung jetzt zwar mehr oder weniger verstanden, dennoch muss ich erst einmal mehr Erfahrung sammeln und falte schon fleißig Papier vor mich hin...

Es will mir zum Beispiel nicht in den Kopf, ob man auf dem Gräte-4-Bild die Punkte P1 und P2 (und somit auch P5 und P6 bzw. die gesamte Struktur) beliebig nah aneinanderbringen kann oder nicht. Und wenn nicht, was dieses Zusammenbringen hemmt. Kannst Du das sagen? Eventuell kommen wir dadurch der Lösung näher.

Und, auch wenn es eigentlich nicht üblich ist: wenn ein anderer Helfer hier weitere Ideen hat, nur zu!

Viele Grüße
Steffen
Robert Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
origami winkelbeziehungen
Also die Punkte 1 und 2 sowie 5 und 6 kann man beliebig weit aneinander bringen. Beide durch diese Punkte entstehenden geraden sind auch parallel. Zusätzlich soll davon ausgegangen werden, dass die im Grundriss sichtbaren Trapezflächen eine unendliche Steifigkeit besitzen, sich also zu keiner Zeit aus ihrem lokalen Koordinatensystem heraus verdrehen können.
Viel Spass beim falten Augenzwinkern
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: origami winkelbeziehungen
Zitat:
Original von Robert Schneider
Also die Punkte 1 und 2 sowie 5 und 6 kann man beliebig weit aneinander bringen.


Ach so? Bei meiner Falterei habe ich den Winkel a1 (siehe Dein Gräte-2-Bild) nämlich einfach mal auf 45° gesetzt. Bringe ich nun P1 und P2 (im Gräte-4-Bild) näher zusammen, geht doch P3 (als Höhe des entstehenden gleichschenkligen Dreiecks) entsprechend nach oben. Für P5, P6 und P7 gilt dasselbe. P4 bleibt dagegen auf demselben z-Niveau wie P1 und P2. Habe ich das richtig verstanden? Das könnte man dann doch schon mal berechnen.

Dazu braucht man aber nicht nur den Winkel a1, sondern auch die "Schenkellänge", die Du b nennst. Du aber willst ja stattdessen offenbar den Winkel x (Gräte 5) als gegeben ansehen und nicht b. Warum? Ist das nicht sehr rechenaufwendig?

Viele Grüße
Steffen
 
 
Robert Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
origami winkelbeziehungen
Deine Gedanken sind schon richtig. P1, p2 und p4 liegen in einer ebene. Welche Werte ich mir vorgebe ist variabel. In meinem bisher geschriebenen Programm lege ich folgende Werte zu Beginn fest: a1, a2, b, x, sowie die Strecke 4/7. 4/3 ergibt sich ja aus den Winkeln. Vielleicht sollte ich mir hier bereits andere Werte vorgeben?
Das Problem mit dem ich gerade nicht so zurecht komme, ist der Fakt, dass sich z.b. der Punkt P6 bei Veränderung des Winkels x um 2 kreisachsen verdreht. Einmal um einen Kreis mit dem Radius der durch die lotrechte Verbindung von P6 mit der Gerade 1/4 ergibt und eben diese gerade als Drehachse benutzt und zusätzlich um einen Kreis dessen Mittelpunkt P4 ist. Der Punkt P3 bewegt sich auf einem Kreis mit selbigem Mittelpunkt (P4) und dem Radius 4/3. Aber auch hier sehe ich den Zusammenhang nicht mehr. Ich habe schon viel gerechnet, aber wenn ich dann die Ergebnisse eingeben, liegen die 4 Punkte der Trapeze nicht mehr im selben lokalen Koordinatensystem.
Vielleicht gibt es ja auch einen einfacheren weg wie ich die Koordinaten der einzelnen Punkte parameterabhängig finden kann?
Robert Schneider Auf diesen Beitrag antworten »

Mir ist eben aufgefallen, dass bei Variation des Winkels c1 sich die Punkte P1 und P3 jeweils auf einem eigenen Kreis drehen (zumindest wenn ich das Koordinatensystem in Punkt 4 lasse). Der Punkt P3 besitzt dabei den Radius P4/P3 und der Punkt P1 den Radius b. Wenn ich nun c1 verändere, müsste sich doch der Winkel zwischen P4/P3 und der x-y-Ebene zu c1 im selben Verhältnis verändern wie die beiden Radien zueinander. Damit könnte ich zumindest erstmal die Punkte P1 bis P4 bestimmen. Bei Punkt P5 (und somit auch P6) drehen sich die Punkte jedoch um 3 Kreisachsen (zumindest wenn die Winkel a1 und a2 unterschiedlich sind).
Ich werde mal noch ein wenig weiter knobeln.
Robert Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
origami winkelbeziehungen
Hat noch jemand andere Ideen? inzwischen denke ich zu wissen, dass sich alle Punkte (außer P3 ) auf jeweils 3 Kreisen mit 3 unterschiedlichen Radien bewegen, wobei die Punkte jeweils auf einem Schnittpunkt zwischen 2 Kreisen liegen.
Vielen Dank schon einmal im Vorraus
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »
RE: origami winkelbeziehungen
Ich kam die letzte Zeit nicht soviel zum Nachdenken, aber es geht doch schlussendlich um die Projektion all dieser Punkte auf die Horizontalebene, damit Du die Faltlinien aufs Papier einzeichnen kannst, oder?

Wenn man von einem Punkt weiß, dass er auf einem Kreis mit einem bestimmten Radius einen bestimmten Winkel hochgeht, dann ist diese Projektion ja einfach über den Cosinus zu bestimmen. Aber ich denke, das ist Dir klar. Problematisch ist es halt, Radius und Winkel zu beschreiben, da müsste ich noch mal ein bisschen falten.

Viele Grüße
Steffen
Robert Schneider Auf diesen Beitrag antworten »
Origami Winkelezehungen
Es geht im Endeffekt darum, dass bei, einfach ausgedrückt, dem Zusammenschieben der Punkte P1 und P2 sich gleichzeitig die Koordinaten aller anderen Punkte in einem bestimmten Verhältnis verändern. Das hängt daran, dass sich sämtliche Punkte auf 3 Kreisachsen mit unterschiedlichen Radien bewegen (welche ich kenne). Um diese Koordinaten in meinem Programm berechnen zu können, habe ich gedacht, dass die Projektionen auf die x-y-Ebene sowie die y-z-Ebene sehr nützlich sein könnten.
Auf dem angehängten Bild habe ich einmal die 3 Kreise eingezeichnet auf denen sich der Punkt P3 bewegt.
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