3x+7 Injektivität und Surjektivität nachweisen.

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04.11.2013, 21:05	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Abbildung Q -> Q mit x -> 3x+7 Injektivität und Surjektivität nachweisen. Meine Frage: Wir betrachten die Abbildung h: Q --> Q, x -> 3x+7 Besitzt diese Abbildung eine Linksinverse (bzw. Rechtsinverse)? Geben sie sofern möglich bis zu zwei voneinander verschiedene Linksinverse (bzw. Rechtsinverse) Abbildungen an. Meine Ideen: Meine Idee war, dass ich schaue, ob die Abbildung Injektiv oder Surjektiv ist, denn äquivalent dazu gilt ja dann auch h hat eine Rechtsinverse / Linksinverse. Mein Beweis für die Injektivität sah so aus: Annahme: Sei h nicht injektiv, so gibt es ein f(x) = f(x') mit x != x'. Seien dazu p1, p2, q eZ und p1 != p2. Sei nun x := p1/q und x' := p2/q f(x)= 3* (p1/q) +7 f(x')= 3* (p2/q) + 7 f(x) = f(x') 3* (p1/q) +7 = 3* (p2/q) + 7 3* (p1/q) = 3* (p2/q) p1 = p2, nach Annahme aber p1 != p2 Widerspruch! Annahme falsch. => h ist injektiv. Meine Idee für den Nachweis der Surjektivität ist/war der folgende: Da h: Q -> Q eine Abbildung von der Menge Q in die selbe Menge Q ist, also beide Mengen die selbe Anzahl n Elemente haben muss wegen der Injektivität bereits gelten: Für alle Elemente yeQ gibt es genau ein xeQ mit f(x) = y. => h ist bijektiv => f ist erst recht surjektiv Jetzt weiß ich nur nicht, ob ich das überhaupt so machen darf. Die Äquivalenz f injektiv <=> f surjektiv <=> f bijektiv für eine Abbildung f:X->X (mit X endliche Menge) habe ich bereits in einer anderen Aufgabe bewiesen. Aber Q ist ja eine abzählbar unendliche menge, daher bin ich mir nicht sicher, ob das so funktioniert, wie ich mir das gedacht habe. Ich wäre also dankbar über jemanden, der mir mal kurz auf die Finger schaut und mir sagt ob ich das so machen darf, bzw. wenn nicht, wie ich es dann machen könnte. Liebe Grüße, Hallagar.
04.11.2013, 21:31	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das kannst du nicht machen. So ist z.B. $\begin{eqnarray} f:\mathbb Q\rightarrow\mathbb Q,x\mapsto \begin{cases} x & x<0 \\ x+1 & x\geq 0\end{cases} \end{eqnarray}$ injektiv, aber nicht surjektiv. Betrachte für die Surjektivität lieber mal das Urbild $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) \end{eqnarray}$ für ein beliebiges $\begin{eqnarray} y\in\mathbb Q \end{eqnarray}$ .
04.11.2013, 21:31	MatheIstLustig	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Abbildung Q -> Q mit x -> 3x+7 Injektivität und Surjektivität nachweisen. Dein Beweis zur Injektivität von h ist richtig. Zur Surjektivität: Gegeben sei eine Abzählung der Menge Q, die jedem Element von Q eine Zahl aus N zuordnet. Definiere damit eine Abbildung Q--->Q , x ---> Nummer von X aus der gegebenen Abzählung Diese Abbildung ist injektiv, aber nicht surjektiv I)ch hoffe, die Idee mit diesr Abbildung ist so verständlich. Aber du kannst Surjektivität zeigen, indem du zu jedem $\begin{eqnarray} y= \frac{p}{q} \end{eqnarray}$ das Urbild ausrechnest/ angibst. Sry Iorek habe deinen Post niocht rechtzeitig gesehen, kannst weitermachen.
04.11.2013, 21:46	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schonmal für die schnelle Antwort ihr beiden. Klar, da das nicht geht bleibt natürlich nur das Urbild $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) \end{eqnarray}$ zu betrachten. Jetzt habe ich aber irgendwie gerade 'nen Brett vor'm Kopf wie es scheint. Das Urbild wäre doch dann $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=({xeX \| x -> 3x+7}) \end{eqnarray}$ Auch gilt, wenn h surjektiv sein soll, darf also keine Faser $\begin{eqnarray} f^{-1}(y) \end{eqnarray}$ gleich der leeren Menge sein. Nur habe ich jetzt keine Ahnung, was ich mit dieser "Erkenntnis" machen kann. Habt ihr vielleicht noch 'nen kleinen Anstupser? :/
04.11.2013, 21:52	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} y\in\mathbb Q \end{eqnarray}$ beliebig, dann ist $\begin{eqnarray} f^{-1}(y)=\{x\in \mathbb Q~\|~f(x)=y\}=\{x\in\mathbb Q~\|~3x+7=y\} \end{eqnarray}$ . Kannst du für jedes $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ ein passendes $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ finden?
04.11.2013, 21:57	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dann kann ich ja 3x+7 = y umstellen, oder nicht? Also (y-7)/3 = x ... Aber da y ja eine rationale Zahl, also im Prinzip p/q ist, kann ich dann auch garantieren, dass das ganze 'ne rationale Zahl wird? Denn das könnte doch auch irrational werden, oder nicht?
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04.11.2013, 21:58	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei welcher Umformung könnte es denn irrational werden?
04.11.2013, 22:05	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
ach klar... ich kann ja x = (y-7)/3 auch noch umformen zu x = 1/3 * (q/(p+7q)) = q/3(p+7q), weil kehrwert mal nehmen undso, oder? und da ja p und q ganze Zahlen sein müssen ist q/3(p+7q) immer eQ, oder? Und damit gibt es keine leere Faser, richtig?
04.11.2013, 22:09	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sollte so in Ordnung gehen. Kurz gefasst: $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ ist ein Körper, sämtliche Umformungen die du gemacht hast $\begin{eqnarray} 3x+7=y \Leftrightarrow 3x=y-3\Leftrightarrow x=\frac {y-7}3 \end{eqnarray}$ sind über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ wohldefiniert (Subtraktion und Division ganzer Zahlen). Damit hat jede Faser mindestens ein Element.
04.11.2013, 22:10	Hallagar	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke vielmals für die Hilfe! Dann bin ja fast fertig mit dem Übungszettel bis Mittwoch freu Liebe Grüße (und ich bin sicher bis bald ), Hallagar.

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Abbildung Q -> Q mit x -> 3x+7 Injektivität und Surjektivität nachweisen.

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