Unbekannte in Zähler und Nenner des Binomialkoeffizienten

05.11.2013, 09:29	clueless2013	Auf diesen Beitrag antworten »
Unbekannte in Zähler und Nenner des Binomialkoeffizienten Hallo liebes Matheboard, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Ein Händler erhält eine Lieferung von hundert Maschinen. Er kontrolliert die Ware, indem er zehn Maschinen zufällig auswählt und deren Funktionstüchtigkeit eingehend überprüft. Beurteilen Sie das Vorgehen des Händlers, indem Sie berechnen, wie gro der Anteil defekter Maschinen mindestens sein muss, damit sein Vorgehen in mindestens 50% aller Fälle zum Erfolg führt. (Erfolg sei hier gegeben, wenn er mindestens eine defekte Maschine entdeckt.) Klingt einfach, oder? ;-) Ich dachte mir, es sei ein einfaches "ZoZ"-Problem. Sei die Anzahl defekter Maschinen x. Ich ziehe von 1 die Wahrscheinlichkeit ab, dass keine defekten Maschinen gefunden werden. In meiner Formel steht links jetzt im Zähler: (x nCR 0) mal ((100-x) nCR (10-0)), und im Nenner: (100 nCR 10) (100 nCR 10) wandert auf die rechte Seite, (x nCR 0) ist für alle x gleich 1. Bleibt noch ((100-x) nCR (10)). Wenn ich das jetzt in die Formel des Binominalkoeffizienten setze, habe ich im Zähler und im Nenner x stehen. Und hier komme ich nicht weiter... Fällt euch was ein? Lieben Dank!
05.11.2013, 09:41	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das musst du schrittweise "ertasten", denn eine explizite Auflösung nach x klappt nicht. Wenn du es zu Fuß machen musst, hilft folgende Rekursion: Sei $\begin{eqnarray} a_n = \frac{\binom{100-n}{10}}{\binom{100}{10}} \end{eqnarray}$ , dann suchst du das kleinste $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a_n\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ . Nun ist $\begin{eqnarray} a_0=1 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \frac{a_n}{a_{n-1}} = \frac{\binom{100-n}{10}}{\binom{100-n+1}{10}} = \frac{(100-n)!(91-n)!}{(90-n)!(101-n)!} = \frac{91-n}{101-n} \end{eqnarray}$ d.h. $\begin{eqnarray} a_n = a_{n-1} \cdot \frac{91-n}{101-n} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ Diese Iteration führst du solange fort, bis du ein $\begin{eqnarray} a_n\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ gefunden hast.
06.11.2013, 17:37	clueless2013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow, das ging ja schnell! Vielen Dank für deine Hilfe!

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