Fechtkampf Stochastik, welche Reihenfolge ist die bessere Wahl?

05.11.2013, 10:33

steviehawk

Fechtkampf Stochastik, welche Reihenfolge ist die bessere Wahl?

Meine Frage:
Hallo Leute, ich möchte gerne folgende Aufgabe lösen und verstehen.

"Ein Ritter hält um die Hand einer Königstochter an. Der König will die Hochzeit erlauben, wenn der Ritter hintereinander zwei Fechtkämpfe gewinnt, mit den alternierenden Gegenern: König und Fechtchampion. Natürlich ist der König einfacher zu besiegen als der Fechtchampion.

Er darf zwischen den Reihenfolgen K FC K oder FC K FC wählen. K = König, FC = Fechtchampion.

Was ist klüger?"

(zwischen den Kämpfen ist so lange Erholung, dass sich diese nicht beeinflussen können)

Meine Ideen:
Also naiv hätte ich jetzt gedacht, dass es Egal ist, wie er sich entscheidet, denn er muss ja auf jeden Fall zwei Mal hintereinander gewinnen.

Wählt er nun: K FC K, dann muss er ja (K, FC) gewinnen, oder (FC,K) gewinnen, im Falle, dass er gegen den König verliert in der ersten Runde.

Wählt er nun: FC K FC, dann muss er ja (FC,K) gewinnen, oder (K, FC), im Falle, dass er gegen den FC verliert in der ersten Runde

In beiden Varianten kommen die gleichen (günstigen) Fälle vor nur in anderer Reihenfolge, daher vermute ich, dass es egal ist, wie er sich entscheidet.

Hat mir jemand einen Rat, wie ich das besser lösen könnte??

Danke für die Hilfe

05.11.2013, 10:43

HAL 9000

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Zitat:

Original von steviehawk
Hat mir jemand einen Rat, wie ich das besser lösen könnte??

Schlicht und einfach rechnen: Seien $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ die Wahrscheinlichkeiten, den König bzw. den Fechtmeister zu schlagen. Dann gibt es ja die Gewinnkombinationen 11 und 011, und du kannst in beide Fällen K FC K und FC K FC die Siegwahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ ermitteln und dann beide mit Hilfe des vorausgesetzten $\begin{eqnarray*} p>q \end{eqnarray*}$ vergleichen.

05.11.2013, 10:50

Huggy

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Und als Plausibilitätsüberlegung: Man muss auf jeden Fall den 2. Kampf gewinnen!

05.11.2013, 11:18

steviehawk

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Ich versuche es mal: Sei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ die Wkt gegen den König zu siegen und $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ die Wkt gegen Fechtchampion zu siegen

Bei der Variante 1 K FC K erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(11) = p \cdot q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(011) = (1-p)(p \cdot q) \end{eqnarray*}$

die beiden muss ich addiere und erhalte die Wkt mit Variante 1 zu gewinnen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_{V1} = pq + (1-p)pq \end{eqnarray*}$

und bei Variante 2 FC K FC erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(11) = q \cdot p \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(011) = (1-q) (p \cdot q) \end{eqnarray*}$

die beiden muss ich addiere und erhalte die Wkt mit Variante 2 zu gewinnen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}_{V2} = qp + (1-q)pq \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} p > q \end{eqnarray*}$ erhalte ich in der zweiten Variante die höhere Wkt.

Dies deckt sich auch mit der Plausibilitätsbegründung smile

DANKE (ich hoffe es stimmt so)

05.11.2013, 12:40

Huggy

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Stimmt!

05.11.2013, 13:03

Kasen75

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@all

kann man die Aufgabe nicht auch dahin gehend interpretieren, dass der Ritter auch dreimal hintereinander gewinnen kann und trotzdem die Königstochter heiraten kann ?

Edit: Hat sich erledigt. In der Variante 11 ist ja sowohl 110 als auch 111 enthalten.

Edit2: Wenn ich aber voll durchrechne, dann komme ich trotzdem zu dem Ergebnis, dass die Reihenfolgen egal sind.

05.11.2013, 15:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kasen75
Edit2: Wenn ich aber voll durchrechne, dann komme ich trotzdem zu dem Ergebnis, dass die Reihenfolgen egal sind.

Die Rechnungen oben von steviehawk stimmen aber. Und ob du nun direkt

Zitat:

Original von steviehawk
Bei der Variante 1 K FC K erhalte ich dann:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(11) = p \cdot q \end{eqnarray*}$

rechnest oder aber zusammengesetzt

$\begin{eqnarray*} \mathbb{P}(110) + \mathbb{P}(111) = pq(1-p) + pqp = pq \end{eqnarray*}$ ,

spielt eigentlich keine Rolle. verwirrt

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