Konvergenz untersuchen und beweisen-

05.11.2013, 11:51

centrino

Konvergenz untersuchen und beweisen-

Hallo

Ich soll die Reihe;

reihe(from n=1 to infinity) xn

untersuchen und Behauptungen beweisen.

Dabei gilt die Fallunterscheidung xn = 2^-n (bei n gerade) und xn = 3^-n (für n ungerade).

Nun:
- Ich versteh nicht ganz, was die Unterscheidung überhaupt bringt, da beide doch einfach nach 0 konvergieren und somit was ich bei den Reihen untersuchen soll;
gerade: 1/2 + 1/2^2 + 1/2^3+....+ 0 = xg
ungerade: 1/3 + 1/3^2 + 1/3^3+...+0 = xug
Geht es hier um die Werte von xg resp. xug?

- gehe ich dann richtig in der Annahme, dass die Reihe konvergiert wen xg=xug und sonst halt zwei Häufungspunkte hat?

Danke für eure Hilfe,

centrino

05.11.2013, 13:29

Leopold

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Na ja, die Reihe läuft ein bißchen anders:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3^1} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^3} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^5} + \frac{1}{2^6} + \ldots \end{eqnarray*}$

05.11.2013, 15:42

centrino

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Stimmt da habe ich übersehen, danke für den Hinweis.

Macht es allgemein keinen Sinn die Reihe in zwei Reihen aufzuteilen?

(1/3 + 1/9 + 1/3^5+...) + (1/4 + 1/16 + 1/2^6+...) = x
und dann die Teile einzel zu untersuchen?

05.11.2013, 15:50

Leopold

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Doch. Das macht Sinn. Und es ist erlaubt, wenn beide Reihen konvergieren (was hier der Fall ist). Tip: Klammere bei der ersten Teilreihe $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ , bei der zweiten $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ aus und verwende die bekannte Formel für die geometrische Reihe.

06.11.2013, 10:15

centrino

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Wäre das so richtig?

1/3*(1/3)^2n-1 + 1/4*(1/2)^2n

Und dann (1/3)/1-(1/3) + (1/4)/1-(1/2) = (1/2)+(1/2) = 1

Und somit x1 = x2

Oder kommt noch der Grenzwert ins Spiel...

06.11.2013, 10:20

HAL 9000

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Nach dem Tipp von Leopold ergibt sich

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{\infty} q_1^k + \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{\infty} q_2^k = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1-q_1} + \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{1-q_2} \end{eqnarray*}$

mit diesen zwei geometrischen Reihen, ja. Aber es ist nicht $\begin{eqnarray*} q_1=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_2 = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , sondern...

06.11.2013, 14:06

centrino

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Zitat:

Original von HAL 9000
sondern...

...

also zB für 1/3^1 müsste sum_q^k=1 für 1/3^3 müsste sum_q^k = 1/3 sein, oder?

also wäre das 1/ (1-q) = 1 (resp. 1/3) also q = 0 (resp. -2)
was nicht wirklich Sinn macht.

Kann ich es einfach abschätzen? Ich weiss ja was (1/3)*(1/(1-q1)) sein sollte...

Danke für die Hilfe

06.11.2013, 14:10

HAL 9000

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Nein - tatsächlich sind $\begin{eqnarray*} q_1 = \left( \frac{1}{3} \right)^2 = \frac{1}{9} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ .

06.11.2013, 14:21

centrino

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sum_(k=0 bis inf.): (1/9)^k = 9/8

Und 1/3 * 9/8 wäre nicht gleich 1/3...

We bist du auf diese Werte gekommen?

06.11.2013, 14:32

HAL 9000

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Also nochmal von vorn, diesmal alles ordentlich aufgeschrieben - also nicht (wie so häufig bei dir) Summenzeichen weggelassen, etc.

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^{2k+1}} + \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2k+2}} &=& \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{3^{2k}} + \frac{1}{2^2} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{2^{2k}} = \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(3^2)^k} + \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(2^2)^k} \\ &=& \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{9^k} + \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{4^k} = \frac{1}{3} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{9} \right)^k + \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{\infty} \left( \frac{1}{4} \right)^k \end{eqnarray*}$ ,

wobei natürlich das Potenzgesetz $\begin{eqnarray*} a^{b\cdot c} = (a^b)^c \end{eqnarray*}$ angewandt wurde. Ausführlich genug?

Zitat:

Original von centrino
Und 1/3 * 9/8 wäre nicht gleich 1/3...

Warum auch? Scheint ja nur eine fixe Idee von dir zu sein, dass die beiden Teilreihen den gleichen Wert haben sollen - ist aber nicht so. unglücklich