Fragen zu Potenzmengen

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porter Auf diesen Beitrag antworten »
Fragen zu Potenzmengen
Hallo Forum,

Ich habe schon wieder ein paar Fragen.
Diesmal geht es um Potenzmengen.

Gegeben ist eine nicht leere, endliche Menge {1,2,3,...,n}.

Bei der ersten Teilaufgabe soll ich zeigen, dass die Potenzmenge dieser nicht leeren, endlichen Menge ebenfalls endlich ist.

Bei der zweiten Teilaufgabe soll ich dann die Mächtigkeit der Potenzmenge einer nicht leeren, endlichen Menge bestimmen.

Ich weiß, dass die Mächtigkeit einer Potenzmenge folgendermaßen berechnet wird:



Das X steht in diesem Fall für meine endliche Menge. Damit lassen sich ja eigentlich beide Teilaufgaben beantworten?

Jetzt müsste ich nurnoch zeigen, dass diese Formel auch gültig ist?

Kann ich jetzt hier einfach sagen, dass die Formel gültig ist, wenn ich das anschließend durch einen Induktionsbeweis zeige?


Kann ich das auch irgendwie anders zeigen, dass die Potenzmenge einer endlichen Menge ebenfalls endlich ist? Weil ich weiß nicht genau, ob das so gewollt ist, dass beide Teilaufgaben durch den gleichen Weg gelöst werden können?

Oder ist das gar nicht der Fall?

Danke für die Hilfe
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Genau dein Problem hatten wir letzte Woche hier im Board an verschiedenen Stellen. Es wurden sowohl induktive als auch direkte Beweismethoden angesprochen. Einfach ein bißchen suchen.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zu Potenzmengen
Zitat:
Original von porter
... wenn ich das anschließend durch einen Induktionsbeweis zeige?
...


Ja, Induktionsbeweis ist ein gutes Stichwort.
Aber wie Leopold es schon gepostet hat, einfach ein bischen suchen. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zu Potenzmengen
Zitat:
Original von jimmyt
Aber wie Leopold es schon gepostet hat, einfach ein bischen suchen. smile


Das habe ich nicht gesagt. (Ich befleißige mich der althergebrachten Rechtschreibung, nach heutiger Dumm-Duden-Norm müßte ich "bisschen" schreiben. Oder in DDN: Ich befleißige mich der alt hergebrachten Rechtschreibung, nach heutiger Dumm-Duden-Norm müsste ich "bisschen" schreiben.)
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Das tut mir Leid, dass ich schon wieder mit so einer Frage komme.

Habe jetzt das Forum durchsucht.

So wie ich das verstanden habe, kann ich z.B. ein, zwei, oder drei beliebige endliche Mengen nehmen, und davon dann die Potenzmenge bilden. Daraus leite ich dann die Formel für die Mächtigkeit einer Potenzmenge ab, und beweise die dann anschließend mit einem Induktionsbeweis?

Habe ich damit dann beide Teilaufgaben beantwortet? Also ist damit auch gezeigt, dass die Potenzmenge einer endlichen Menge ebenfalls endlich ist? Ich würde sagen, ja?

Nochmal Entschuldigung wegen der Frage
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fragen zu Potenzmengen
Zitat:
Original von Leopold
Zitat:
Original von jimmyt
Aber wie Leopold es schon gepostet hat, einfach ein bischen suchen. smile


Das habe ich nicht gesagt. (Ich befleißige mich der althergebrachten Rechtschreibung, nach heutiger Dumm-Duden-Norm müßte ich "bisschen" schreiben. Oder in DDN: Ich befleißige mich der alt hergebrachten Rechtschreibung, nach heutiger Dumm-Duden-Norm müsste ich "bisschen" schreiben.)


Du bist so gut, aber auch sehr genau und korrekt.
Und du hast recht damit, daß das jetzt mit doppeltem s geschrieben werden soll. Ich habe nachgeschaut im Duden online.

Deine Meinung in Bezug auf den aktuellen Duden teile ich. Neulich wurde sogar das Wort Vollpfosten in den Duden aufgenommen. Da bleibt mir die Spucke weg.

Aber Rechtschreibfehler können im Eifer immer mal wieder passieren.
Deswegen sei bitte in Zukunft nachsichtig mit mir.

Und es muss natürlich bißchen heißen. smile
 
 
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von porter
...
Habe ich damit dann beide Teilaufgaben beantwortet? Also ist damit auch gezeigt, dass die Potenzmenge einer endlichen Menge ebenfalls endlich ist? Ich würde sagen, ja?

Nochmal Entschuldigung wegen der Frage


Brauchst dich nicht entschuldigen. smile

Also du hast doch die Formel für die Mächtigkeit der Potenzmenge.
Beweise diese mit Induktion und wende sie auf den ersten Aufgabenteil an.
Ist die Potenzmenge dann endlich oder nicht?
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe also die endliche Menge X = {1,2.3,...,n}

Die Mächtigkeit dieser Menge ist

Um zu zeigen, dass die Potenzmenge einer endlichen Menge auch endlich ist, zeige ich, dass die Mächtigkeit der Potenzmenge endlich ist.

Es gilt :

Da eine endliche Zahl ist, ist auch eine endliche Zahl.

Und bei der zweiten Aufgabe, wo ich die Mächtigkeit der Potenzmenge bestimmen soll, entwickle ich ein Bildungsgesetz für die Mächtigkeit aus ein paar Beispielen, und beweise das dann mit der Induktion.

Ist das richtig so?
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich wollte Leopold den Thread nicht wegnehmen.
Deswegen wäre es mir lieber, wenn er auch weiter macht.
Deswegen nur eine kurze erste Einschätzung: Klingt gut. Mach mal die Induktion. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von jimmyt
Also, ich wollte Leopold den Thread nicht wegnehmen.


Ich bin da nicht so empfindlich. Und so, wie ich mich frech einmische, wenn ich glaube, etwas beitragen zu können, so akzeptiere ich auch, wenn andere das bei mir tun. Ärgerlich ist nur, wenn Leute, die keine Ahnung haben, ihren Senf dazugeben. Aber da mache ich mir bei dir keine Sorgen.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

OK, danke für die Hilfe
Werde den Induktionsbeweis dann probieren, und heute Abend hier reinschreiben.

Noch eine andere Frage:
Ich habe vorhin ein paar Beweise zu Abbildungen gemacht. Wäre toll, wenn da mal jemand drüberschauen könnte.

Aber ich will deshalb keinen eigenen Thread aufmachen.

Ist das erlaubt, dass ich die auch hier reinschreibe, oder wäre das nicht so gut?
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Kann den obigen Thread leider nicht mehr editieren.

Hier also mein Induktionsbeweis:

Bis zum Induktionsschritt bin ich mir sicher, ich mache es jetzt gleich für n+1

Nach Induktionsvoraussetzung liefern die ersten n- Elemente eine - elementige Potenzmenge.

Das n+1 te Element wird jetzt mit jedem bereits bestehenden Element der Potenzmenge, bis auf 0, vereinigt, und auch selbst noch als Menge der Potenzmenge hinzugefügt. Somit ergeben sich nochmals Elemente.

Insgesamt hat man also

Ich habe das hier am Papier noch besser ausgeführt, aber ich glaube, so müsste es funktionieren?


Ich glaube die ersten beiden Teilaufgaben habe ich gelöst.

Bei der Dritten habe ich aber schon wieder Probleme.

Es ist eine bijektive Abbildung gegeben:



wobei U, V beliebige Mengen sind

Ich soll zeigen, dass f eine bijektive Abbildung induziert.
Da steht noch, ich soll eine derartige bijektive Abbildung finden.

Weiters:
Bestimmen Sie nun für die endliche Menge A.


Also die Begrifflichkeiten kenne ich alle, und ich stelle mir vor, damit ist gemeint, wenn bijektiv ist, dann sind auch deren Potenzmengen bijektiv. Habe ich das richtig erfasst?

Muss ich da jetzt ein konkretes Beispiel bringen?
Im Fragetext steht ja, ich soll es zeigen, und ich soll eine bijektive Abbildung der Potenzmengen finden.

Und wieso muss ich jetzt nochmal die Mächtigkeit der Potenzmenge bestimmen?

Vielen Dank für die Hilfe
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von porter
OK, danke für die Hilfe
Werde den Induktionsbeweis dann probieren, und heute Abend hier reinschreiben.

Noch eine andere Frage:
Ich habe vorhin ein paar Beweise zu Abbildungen gemacht. Wäre toll, wenn da mal jemand drüberschauen könnte.

Aber ich will deshalb keinen eigenen Thread aufmachen.

Ist das erlaubt, dass ich die auch hier reinschreibe, oder wäre das nicht so gut?


Vorschlag:
Schicke einfach sulo eine Nachricht mit deiner Frage.
Ich kann das nicht entscheiden, aus dem Bauch raus würde ich sagen besser neuen Thread eröffnen. smile
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Den Induktionschritt für die Mächtigkeit der Potenzmenge hast du gut gemacht. Freude
Nur eine kurze Anmerkung zu

Zitat:
Original von porter
... bis auf 0, vereinigt, und auch selbst noch als Menge der Potenzmenge hinzugefügt


Wenn du das n+1-te Element mit der leeren Menge vereinigst erhältst du eine Menge mit einem Element, und zwar dem n+1-ten Element. smile
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Nochmal danke für deine Hilfe und für der den Tipp von vorhin.

Jetzt überlege ich mir noch, wie das mit der dritten Teilaufgabe bezüglich der bijektiven Abbildung der Potenzmengen funktioniert.

Vielleicht fällt mir ja noch was ein. smile
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne geschehen. smile Ich schaue mir gleich diese bijektive Abbildung auch nochmal genauer an.
porter Auf diesen Beitrag antworten »

Habe mir das jetzt nochmal angeschaut, aber irgendwie komm ich da nicht wirklich voran.

Für einen kleinen Tipp wäre ich wirklich dankbar.
jimmyt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von porter
...
Ich glaube die ersten beiden Teilaufgaben habe ich gelöst.

Bei der Dritten habe ich aber schon wieder Probleme.

Es ist eine bijektive Abbildung gegeben:



wobei U, V beliebige Mengen sind

Ich soll zeigen, dass f eine bijektive Abbildung induziert.
Da steht noch, ich soll eine derartige bijektive Abbildung finden.

Weiters:
Bestimmen Sie nun für die endliche Menge A.


Also die Begrifflichkeiten kenne ich alle, und ich stelle mir vor, damit ist gemeint, wenn bijektiv ist, dann sind auch deren Potenzmengen bijektiv. Habe ich das richtig erfasst?


Ja, oder besser f induziert eine bijektive Abbildung .

Zitat:
Original von porter
Muss ich da jetzt ein konkretes Beispiel bringen?
Im Fragetext steht ja, ich soll es zeigen, und ich soll eine bijektive Abbildung der Potenzmengen finden.


Auch ja, aber das ist einfach, oder etwa nicht?
Wie mächtig sind die Mengen U und V? Wie mächtig deren Potenzmengen?

Zitat:
Original von porter
Und wieso muss ich jetzt nochmal die Mächtigkeit der Potenzmenge bestimmen?

Vielen Dank für die Hilfe


Das verstehe ich auch nicht so ganz.
Aber wieviele Elemente hat A? Und wieviele hat dann die Potenzmenge?
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