Mengenangabe als Vereinigung von Intervallen

05.11.2013, 20:03	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenangabe als Vereinigung von Intervallen Hallo und guten Abend, ich habe eine kleine Frage zum oben genannten Thema. Als Aufgabe gilt es die folgende Menge als Vereinigung von Intervallen zu schreiben: $\begin{eqnarray} M:=\lbrace x \in \mathbb{R} ; x-5 \leq \lvert \frac {3x-7}{2x-3} \rvert < \frac 32 \rbrace \end{eqnarray}$ Ich hab mir dann mal den Bruch angeschaut und Nenner und Zähler in ein Koordinatensystem gemacht: Er erscheinen 3 Bereiche/Intervalle: Intervall I: $\begin{eqnarray} (- \infty, \frac 32 ): 2x-3 < 0 \wedge 3x-7 < 0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ Bruch > 0 Intervall II: $\begin{eqnarray} ( \frac 32 , \frac 75 ]: 2x-3 >0 \wedge 3x-7 < 0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ Bruch < 0 Intervall III: $\begin{eqnarray} (\frac 75, + \infty): 2x-3 >0 \wedge 3x-7 > 0 \Rightarrow \end{eqnarray}$ Bruch > 0 Meine Vorgehensweise war diese: x darf natürlich nicht 3/2 sein, da sonst der Bruch nicht definiert ist. Zunächst habe ich mir den Bereich I angeschaut, indem der Bruch größer 0 ist, aber eben (2x-3) kleiner 0, sodass ich erhalte: $\begin{eqnarray} x-5 \leq \frac {3x-7}{2x-3} < \frac 32 \end{eqnarray}$ und forme einfach weiter um, behalte jedoch im Hinterkopf, dass der Nenner kleiner 0 ist. Ich erhalte 2 Ungleichungen: $\begin{eqnarray} (x-5) \cdot (2x-3) \geq 3x-7 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 3x-7 > \frac 32 \end{eqnarray}$ Nach einigen Umrechnungen erhalte ich zuletzt: $\begin{eqnarray} 2x^2 - 10x + 8 \geq 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -7 > -\frac {9}{2} \end{eqnarray}$ Da muss ich ja nicht weiterrechnen, oder? Rechts steht ja ein Widerspruch, sodass ich eine leere Menge erhalte (also für Intervall I)? Ist mein Ansatz denn richtig? Wenn ja werde ich als nächstes den 2. Bereich posten. Danke im Voraus, DeltaX

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