Gruppenhomomorphismus ergibt Funktion mit Identität

05.11.2013, 20:21

Kääsee

Gruppenhomomorphismus ergibt Funktion mit Identität

Huhu,
und noch ein Beitrag^^
Folgende Aussage:

Zitat:

Ist $\begin{eqnarray*} f: (\mathbb Z, +) \to (\mathbb Z, +) \end{eqnarray*}$ ein Gruppenhomomorphismus, so ist f gegeben durch $\begin{eqnarray*} f=a\cdot id_{\mathbb Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(1)=a \end{eqnarray*}$

Für einen Gruppenhomomorphismus muss ja gelten $\begin{eqnarray*} f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2) \end{eqnarray*}$ .
Die umgekehrte Richtung wäre auch nicht schwer, also dass man aus der gegebenen Abbildung schließen kann, dass sie einen Gruppenhomomorphismus definiert. Nämlich z.B. $\begin{eqnarray*} x_1+x_2=x_3 \end{eqnarray*}$ , dann folgt $\begin{eqnarray*} f(x_1+x_2)=a\cdot x_3=a(x_1 + x_2)=a\cdot x_1 + a\cdot x_2= f(x_1)+f(x_2) \end{eqnarray*}$
Auch sieht man leicht, dass $\begin{eqnarray*} f(1)=1\cdot a =a \end{eqnarray*}$ .
Aber wie kriege ich die andere Richtung? Wie komme ich von dem Gruppenhomomorphismus dazu, dass die Abbildung so aussehen MUSS?

05.11.2013, 21:56

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RE: Gruppenhomomorphismus ergibt Funktion mit Identität
Im Grunde steckt nicht viel mehr dahinter als $\begin{eqnarray*} f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2f(1) \end{eqnarray*}$

05.11.2013, 22:38

Kääsee

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Hmm, meinst du, ich könnte dann allgemein schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(z)=f(\underbrace{1+1+1+...}_{z mal})=\underbrace{f(1)+f(1)+f(1)+...}_{z mal}=z\cdot f(1) \end{eqnarray*}$

?
Und was ist, wenn z negativ ist?
Ist dieser Fall schon mit einbegriffen? Bin gerade etwas verwirrt.

05.11.2013, 22:46

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so war der Gedanke
z=(-z)(-1) und -z ist positiv, falls z negativ. Überlege dann noch, in welcher Beziehung f(1) und f(-1) stehen.

05.11.2013, 23:15

Kääsee

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Also reicht das, was ich vorhin geschrieben habe, weil ich nicht "Betrag von z mal", sondern nur "z mal" geschrieben habe?
$\begin{eqnarray*} f(1)=-f(-1) \end{eqnarray*}$

05.11.2013, 23:30

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Was du vorhin geschrieben hast, geht nur für positive z.
Für negative z machst du es analog $\begin{eqnarray*} f(z)=f((-z)(-1))=f((-1)+\ldots+(-1))=(-z)f(-1) \end{eqnarray*}$

05.11.2013, 23:33

Kääsee

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Ok. Aber "darf" ich eigentlich wissen, dass f(-1)=-f(1)?
Ohne dieses Wissen gelange ich ja dann nämlich nicht zur Behauptung. Das fehlt ja noch im letzten Schritt.

05.11.2013, 23:48

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Wenn du es nicht wissen darfst, zeigt du es eben mit den Homomorphieeigenschaften smile

$\begin{eqnarray*} f(1)+f(-1)=f(1+(-1))=... \end{eqnarray*}$

06.11.2013, 00:34

Kääsee

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Ah, super, vielen Dank!
Es geht allerdings weiter. Ich muss das Ganze auch noch in Q durchspielen.
Erst mal der Ansatz für positive z (z aus Z und n aus N)
$\begin{eqnarray*} f\left(\frac{z}{n}\right)=f\underbrace{\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...\right)}_{z mal}=\underbrace{f(n^{-1})+f(n^{-1})+f(n^{-1})+...}_{z mal} \end{eqnarray*}$
und jetzt hänge ich schon wieder unglücklich

Aargh, ich sollte nicht mehr so spät Mathe machen -.-

06.11.2013, 14:25

Kääsee

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Wäre jemand so lieb, mir auf die Sprünge zu helfen? Gott

06.11.2013, 22:07

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Zu Beginn der Aufgabe war f nur auf den ganzen Zahlen definiert. Welche Eigenschaften hat denn f jetzt?
$\begin{eqnarray*} f(1)=f(n\,\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ könnte helfen.

06.11.2013, 22:18

Kääsee

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RE: Gruppenhomomorphismus ergibt Funktion mit Identität

Zitat:

Zu Beginn der Aufgabe war f nur auf den ganzen Zahlen definiert. Welche Eigenschaften hat denn f jetzt?

Sorry, wenn ich mich blöd ausgedrückt habe.
$\begin{eqnarray*} f: (\mathbb Q, +) \to (\mathbb Q, +) \end{eqnarray*}$ ist jetzt der Gruppenhomomorphismus.
Ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht unglücklich

06.11.2013, 22:25

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RE: Gruppenhomomorphismus ergibt Funktion mit Identität

Zitat:

Original von Kääsee
Ich sehe den Wald vor lauter Bäumen nicht unglücklich

In der Tat Big Laugh

Wie gehabt $\begin{eqnarray*} f(1)=f(n\,\frac{1}{n})=nf(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(\frac{m}{n})=mf(\frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$ und jetzt die beiden Gleichungen verbinden.

06.11.2013, 23:24

Kääsee

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RE: Gruppenhomomorphismus ergibt Funktion mit Identität
Da $\begin{eqnarray*} f(1)=n\cdot f\left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} f(1)\cdot \frac{1}{n}=f\left(\frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} m\cdot f\left(\frac{1}{n}\right)=m\cdot \frac{1}{n} \cdot f(1) \end{eqnarray*}$

Daaaanke! Gott

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