Differentitation bzw. Integration bei Potenzreihen

05.11.2013, 20:25

KeineAhnung12

Differentitation bzw. Integration bei Potenzreihen

Meine Frage:
Man soll die Reihe durch Differentitaion bzw. Integration aus der geometrischen Reihe herleiten.

a) sum_(k=1)^infty ((-1)^(k+1)*((x^k)/(k+1)))
b) sum_(k=1)^infty ((k+(1/k))*(x+1)^k)

Danach soll der Reihensummenwert von sum_(k=1)^infty ((-1)^(k)*((k^2+1)/(2^k*k))) berechnet werden.

Meine Ideen:
Zu a habe ich schon die Funktion: - ln(x+1)/x

Nun möchte ich diese Funktion verwenden, um den Reihensummenwert zu berechnen. Ich komme aber nicht weiter wie auf
sum_(k=0)^infty ((-1)^(k+1))/((k+1))*(((k+1)^2+1)/(2^(k+1))))

Wie muss ich den Term jetzt zusammenfassen, dass ich ein x erhalte und so dieses in die obigen errechnete Funktion einsetzen kann.

Bei b komme ich gar nicht voran unglücklich

05.11.2013, 21:43

HAL 9000

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Mir schwirrt der Kopf, wenn ich derartig lange LaTeX-freie Zeilen sehe...

Zitat:

Original von KeineAhnung12
Meine Frage:
Man soll die Reihe durch Differentitaion bzw. Integration aus der geometrischen Reihe herleiten.

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty (-1)^{k+1} \cdot \frac{x^k}{k+1} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \left(k+\frac{1}{k}\right) \cdot (x+1)^k \end{eqnarray*}$

Danach soll der Reihensummenwert von $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty (-1)^k \cdot \frac{k^2+1}{2^k \cdot k} \end{eqnarray*}$ berechnet werden.

Meine Ideen:
Zu a habe ich schon die Funktion: - ln(x+1)/x

Nun möchte ich diese Funktion verwenden, um den Reihensummenwert zu berechnen. Ich komme aber nicht weiter wie auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{k+1} \cdot \frac{(k+1)^2+1}{2^{k+1}} \end{eqnarray*}$

Wie muss ich den Term jetzt zusammenfassen, dass ich ein x erhalte und so dieses in die obigen errechnete Funktion einsetzen kann.

Bei b komme ich gar nicht voran

Vielleicht erleichtert das anderen Helfern den Zugang zu diesem Thread. Augenzwinkern

05.11.2013, 22:07

Grautvornix

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Für b) berechnest Du zunächst folgende Reihen

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty n(1+x)^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac{(1+x)^n}n. \end{eqnarray*}$

Damit gelangst Du zu einer geschlossen Darstellung für die Reihe in b)

Den gewünschten Reihenwert erhältst Du dann durch einsetzen von $\begin{eqnarray*} x=-\frac 32 \end{eqnarray*}$ in der zuvor ermittelten geschlossenen Darstellung.

05.11.2013, 22:43

KeineAhnung12

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ich erhalte nun für b)

(x+1)/x^2 - ln|x|

wie komme ich auf x=-3/2?

05.11.2013, 22:45

KeineAhnung12

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Habs verstanden smile

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