lösungsmenge von bruchungleichungen

05.11.2013, 21:02

wolli sonne

lösungsmenge von bruchungleichungen

Meine Frage:
Folgende Ungleichungen sollen gelöst werden:
1. $\begin{eqnarray*} \frac{5x+5}{4x-5}>2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{| x+4 |}>0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
zu 1. würden ich die ungleichung umstellen, sodass dann >0 da steht.
danach den HN bilden ( $\begin{eqnarray*} 4x-5 \end{eqnarray*}$ ), wodurch folgende ungleichung ensteht: $\begin{eqnarray*} \frac{5x+5-8x+10}{4x-5}>0 \end{eqnarray*}$
Nach Zusammenfassung $\begin{eqnarray*} \frac{-3x+15}{4x-5}>0 \end{eqnarray*}$
danach folgen zwei fallunterscheidungen:

1.Fall: -3x+15 < 0 und 4x-5 > 0
=> x > 5 und x > 5/4

2. Fall: -3x+15 > 0 und 4x-5 < 0
=> x < 5 und x < 5/4

ist das richtig?

2. aufgabe: 2 Fallunterscheidungen für den Betrag

1. Fall: x > 0
x+4 > 0
x > -4

2. Fall: x < 0
-x-4 < 0
x > -4

und in dieser aufgabe passt mir das ergebnis nicht ganz... dasselbe bei beiden fallunterscheidungen???

05.11.2013, 21:30

MatheIstLustig

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RE: lösungsmenge von bruchungleichungen
Bei der ersten Aufgabe hat du in deiner Fallunterscheidung Zähler und Nenner jeweils mit unterschiedlichen Vorzeichen, d.h. der Bruch insgesamt ist negativ. Wenn du so arbeiten willst, sollten Zähler und Nenner identisches Voprzeichen haben.
Du kannst auch einfach nach 4x-5 >0 bzw. 4x-5<0 unterscheiden, dann kannst du mit dem Nenner multiplizieren und die entstehende Ungleichung lösen.

In der 2. Aufgabe hilft dir die Fallunterscheidung nicht wieter. Wichtig ist doch ob x+4 > 0 bzw. x+4<0 ist, damit du den Betrag weglassen kannst.

05.11.2013, 21:49

wolli sonne

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RE: lösungsmenge von bruchungleichungen

Zitat:

Original von MatheIstLustig
, dann kannst du mit dem Nenner multiplizieren und die entstehende Ungleichung lösen.

wie soll ich mit dem nenner multiplizieren? da ergibt sich ja dann nur -3x+15 > 0... wäre ja dann dasselbe

05.11.2013, 22:24

MatheIstLustig

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RE: lösungsmenge von bruchungleichungen
Ich meinte die Original Ungleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{5x+5}{4x-5}>2 \end{eqnarray*}$

05.11.2013, 22:36

wolli sonne

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RE: lösungsmenge von bruchungleichungen
multipliziert mit den nenner: 5x+5 > 8x-10... daraus entsteht entweder x>5 oder x<5

bei 4x-5 > 0 entsteht x>5/4 und bei 4x-5<0 entsteht x<5/4... und jetzt?

05.11.2013, 22:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von wolli sonne
2. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{| x+4 |}>0 \end{eqnarray*}$

Wer hier groß anfängt zu rechnen, hat nicht genug nachgedacht: Es sollte mit einem Blick klar sein, dass alle $\begin{eqnarray*} x\neq -4 \end{eqnarray*}$ Lösung sind. smile

05.11.2013, 22:44

MatheIstLustig

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RE: lösungsmenge von bruchungleichungen
Jetzt hast du Fall 1: $\begin{eqnarray*} 4x-5>0 \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} x> \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$
und bekommst für die Ungleichung: $\begin{eqnarray*} x<5 \end{eqnarray*}$
Lösungen dieses Falles sind alle Zahlen, die beide Bedingungen erfüllen also:
$\begin{eqnarray*} \frac{5}{4} <x<5 \end{eqnarray*}$

Fall 2 musst Du ebenso behandeln. Bei mir gibt es da keine zusätzlichen Lösungen, so dass im 1. Fall bereits alle Lösungen der Ungleichung angegeben sind.

06.11.2013, 09:11

wolli sonne

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RE: lösungsmenge von bruchungleichungen
Guten morgen,

im 2.Fall würde das ja bedeuten, dass $\begin{eqnarray*} 4x-5 < 0 \end{eqnarray*}$ ist
somit ergibt sich $\begin{eqnarray*} x< \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$
der rest bleibt ja gleich, also $\begin{eqnarray*} 5x+5 > 8x-10 \end{eqnarray*}$
oder?

06.11.2013, 09:53

HAL 9000

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Eigentlich ist inhaltlich ja alles gesagt, ich fasse nur nochmal zusammen: Zähler und Nenner links in der obigen Umformung müssen dasselbe Vorzeichen haben, d.h.

Zitat:

Original von wolli sonne (korrigiert)
1.Fall: -3x+15 > 0 und 4x-5 > 0
=> x < 5 und x > 5/4 => 5/4 < x < 5

2. Fall: -3x+15 < 0 und 4x-5 < 0
=> x > 5 und x < 5/4 =>nicht erfüllbar, d.h. kein x

06.11.2013, 22:23

wolli sonne

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wie sieht es mit der 2.aufgabe aus?

kann ich da einfach nur die lösungsmenge mit x > -4 angeben ohne einen rechenweg bis auf
x+4 > 0 und x > -4
oder ist das zu einfach?

wir sollen ja nur die lösungsmenge angeben

06.11.2013, 22:54

HAL 9000

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Dazu hatte ich doch oben schon was bemerkt:

Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von wolli sonne
2. $\begin{eqnarray*} \frac{1}{| x+4 |}>0 \end{eqnarray*}$

Wer hier groß anfängt zu rechnen, hat nicht genug nachgedacht: Es sollte mit einem Blick klar sein, dass alle $\begin{eqnarray*} x\neq -4 \end{eqnarray*}$ Lösung sind. smile

Nochmal haarklein zerlegt:

Der Nenner $\begin{eqnarray*} |x+4| \end{eqnarray*}$ auf der linken Seite ist immer nichtnegativ - und da er als Nenner aber nicht Null werden darf, muss $\begin{eqnarray*} x=-4 \end{eqnarray*}$ vom Definitionsbereich ausgeschlossen werden. Für die übrigbleibenden $\begin{eqnarray*} x\neq -4 \end{eqnarray*}$ ist dann aber auch $\begin{eqnarray*} |x+4|>0 \end{eqnarray*}$ , der Kehrwert davon ist dann natürlich auch >0, und mehr ist ja nicht gefordert!!! Also ist die Ungleichung für alle $\begin{eqnarray*} x\neq -4 \end{eqnarray*}$ erfüllt - das war's.

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