Ungleichung

05.11.2013, 22:15

Chris2k7

Ungleichung

Meine Frage:
Gegeben ist die Ungleichung:

4^n > n^5

Jetzt soll ich für die Ungleichung alle natürlichen Zahlen (n) bestimmen.

Meine Ideen:
Wie geht man an die Aufgabe heran?

05.11.2013, 22:35

HAL 9000

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Letztlich wächst jede Potenzfunktion $\begin{eqnarray*} a^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ schneller als jede Potenzfunktion $\begin{eqnarray*} n^k \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt stets ein $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} a^n > n^k \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\geq n_0 \end{eqnarray*}$ gilt.

Was $\begin{eqnarray*} 4^n > n^5 \end{eqnarray*}$ betrifft, so gilt es praktisch diese Stelle $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ zu finden, und für $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ dann einen Induktionsbeweis aufzuziehen.

Die Werte $\begin{eqnarray*} n\leq n_0 \end{eqnarray*}$ unterzieht man jeweils einer Einzelfallprüfung, sind meist nicht so viele.

05.11.2013, 22:38

Grautvornix

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RE: Ungleichung
Betrachte zunächst mal für n nur die Vielfachen von 5.

Offenbar gilt:

$\begin{eqnarray*} 4^{5k}>(5k)^5\Leftrightarrow (4^k)^5>(5k)^5\Leftrightarrow 4^k>5k \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} 4^n>n^5 \end{eqnarray*}$ schon mal für alle $\begin{eqnarray*} n\geq 10 \end{eqnarray*}$ erfüllt womit nicht mehr viel zu untersuchen bleibt.

05.11.2013, 23:03

Chri2k7

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Wie findet man die Stelle "n0"?

05.11.2013, 23:31

LéonBeckenbach

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Für die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 4^{5n}>n^5 \end{eqnarray*}$ bietet sich die Beweistechnik der Vollständigen Induktion, plus der nicht besonders hilfreiche RatSchlag des Gastes "Grautvornix" an. Augenzwinkern

Der Beweis ist recht simpel, nur handeln die Freiweiligen hier eben bewusst nach dem Credo "Hilfe zur Selbsthilfe", was so viel wie keine Lösungshilfe für frustrierte Studenten bedeutet. ;D

06.11.2013, 08:16

HAL 9000

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Und dann gibt es natürlich noch die Leute, die so hilfreiche Vorschläge wie

Zitat:

Original von LéonBeckenbach
Für die Ungleichung $\begin{eqnarray*} 4^{{\color{red}5}n}>n^5 \end{eqnarray*}$ bietet sich die Beweistechnik der Vollständigen Induktion [...] an

machen, wo es doch eigentlich um $\begin{eqnarray*} 4^{n}>n^5 \end{eqnarray*}$ geht. Big Laugh

P.S.: Dass hier (Vollständige) Induktion verwendet werden sollte, darauf ist weiter oben schon hingewiesen worden. Was den Nutzwert des letzten Beitrags auf Null reduziert.

06.11.2013, 20:21

Helferlein

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@Leon: Nur weil Du als Chri2k7 nicht die gewünschte Antwort bekommst, brauchst Du nicht unter einem anderen Namen zu tun, als wärst Du ein anderer User.
Wenn Dir das Prinzip zur Selbsthilfe nicht zusagt, zwingt Dich niemand eine Frage in diesem Forum zu stellen.

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