Vektor als Linearkombination

06.11.2013, 10:55

Münster

Vektor als Linearkombination

Meine Frage:
Hallo,

ich studier im ersten Semester BWL und meine Mathekenntnisse sind eingerostet. Ich möchte die folgende Aufgabe verstehen und lösen, kann aber nicht nachvollziehen was sie genau aussagt und sitz jetzt hier schon ne halbe Stunde dran. Ich habe die Lösung, check aber nicht wie man darauf kommt. Bitte erklärt mir in leicht verständlichen Schritten was ich hier machen muss. Danke smile

Der Vektor x(t) $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix} 3t \\ t+8 \\ -t-2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ kann für jedes t $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ auf genau eine Weise als Linearkombination aus a1 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , a2 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und a4 = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ dargestellt werden. Bestimmen Sie die Koeffizienten der entsprechenden Linearkombination in Abhängigkeit von t.

Meine Ideen:
Mir wurde gesagt, dass ich die Gerade bestimmen muss für t=0 und dann t=1 einsetzen muss.

06.11.2013, 11:25

RavenOnJ

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RE: Vektor kann auf genau eine Weise als Linearkombination dargestellt werden?
Wie du feststellen könntest (ist zugegebnermaßen hier nicht deine Aufgabe), sind die $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, bilden also eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , in dem sich auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ befinden. Du kannst jetzt ein lineares Gleichungssystem aufstellen mit Unbekannten $\begin{eqnarray*} w,y,z \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} wa_1+ya_2+za_3 = w\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3t \\ t+8 \\ -t-2 \end{pmatrix} =: x(t) \end{eqnarray*}$

Schreib das mal komponentenweise auf. Ich hoffe, du weißt, wie man ein lineares Gleichungssystem löst.

06.11.2013, 12:03

Münster

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Danke für die Antwort. Bevor ich das mache, hab ich noch 2 Fragen:

Lineare Unabhängigkeit heißt, dass sich die Vektoren nicht in einer Ebene befinden, oder? Was ist mit Basis gemeint, und woher weiß man, dass x(t) sich auch dadrin befindet? :/

06.11.2013, 12:21

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Münster

Lineare Unabhängigkeit heißt, dass sich die Vektoren nicht in einer Ebene befinden, oder?

Kann man so sagen. Aber nur, weil der betrachtete Vektorraum 3-dimensional ist. Allgemeiner heißt "linear unabhängig", dass die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^k x_ia_i=0 \end{eqnarray*}$

mit Vektoren $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ und Koeffizienten $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ als einzige Lösung $\begin{eqnarray*} \forall i:x_i =0 \end{eqnarray*}$ hat.

Zitat:

Was ist mit Basis gemeint, und woher weiß man, dass x(t) sich auch dadrin befindet? :/

Eine Basis eines n-dimensionalen Vektorraums $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ besteht aus einer Menge von n linear unabhängigen Vektoren $\begin{eqnarray*} \{b_i\} \end{eqnarray*}$ , sodass jeder Vektor dieses Raumes auf eindeutige Weise aus den Basisvektoren aufgebaut werden kann:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n y_i b_i=v,v\in V \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten $\begin{eqnarray*} y_i \end{eqnarray*}$ sind eindeutig von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ abhängig.

Der in deiner Aufgabe betrachtete Vektorraum ist der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ und alle $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ befinden sich natürlich auch in diesem Vektorraum.

06.11.2013, 20:54

Münster123

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Zitat:

Ich hoffe ich hab das richtig verstanden, bitte korrigier mich falls das falsch ist: Die Basis eines Vektorraums sind also die Vektoren die man erstmalig benutzt, und alle weiteren Vektoren in diesem Vektorraum können aus ebenjenen Vektoren aufgebaut werden?

06.11.2013, 23:37

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Münster123
Die Basis eines Vektorraums sind also die Vektoren die man erstmalig benutzt, und alle weiteren Vektoren in diesem Vektorraum können aus ebenjenen Vektoren aufgebaut werden?

Es gibt nicht die Basis, sondern unendlich viele. Jede Menge aus n Vektoren in einem n-dimensionalen Vektorraum, die linear unabhängig sind und ungleich 0 bilden eine Basis dieses Vektorraums. Was du mit "erstmalig benutzt" meinst, ist mir etwas schleierhaft.

08.11.2013, 16:50

Münster123

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Ich hab nicht verstanden wieso man überhaupt ein Gleichungssystem aufstellt? Was versuche ich überhaupt zu ermitteln?

Danke für deine Geduld smile

08.11.2013, 19:18

RavenOnJ

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RE: Vektor kann auf genau eine Weise als Linearkombination dargestellt werden?
Da muss ich mich dann mal selbst zitieren:

Zitat:

Original von RavenOnJ
Wie du feststellen könntest (ist zugegebnermaßen hier nicht deine Aufgabe), sind die $\begin{eqnarray*} a_1,a_2,a_3 \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, bilden also eine Basis des Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , in dem sich auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ befinden. Du kannst jetzt ein lineares Gleichungssystem aufstellen mit Unbekannten $\begin{eqnarray*} w,y,z \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} wa_1+ya_2+za_3 = w\begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + y \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3t \\ t+8 \\ -t-2 \end{pmatrix} =: x(t)\quad(*) \end{eqnarray*}$

Schreib das mal komponentenweise auf. Ich hoffe, du weißt, wie man ein lineares Gleichungssystem löst.

Es geht darum, die $\begin{eqnarray*} w,y,z \end{eqnarray*}$ zu bestimmen, damit Gleichung (*) erfüllt wird. Dies bedeutet, man muss ein lineares Gleichungssystem für diese Variablen aufstellen und lösen. Das ist deine Aufgabe.

11.11.2013, 12:21

Münster123

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Ich weiß nicht wie man 3 Gleichungen mit 4 Unbekannten ausrechnen soll. Irgendwie bleibt da immer eine übrig. Kannst du mir da einen Tipp für geben?

Danke

11.11.2013, 13:21

RavenOnJ

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t ist keine Unbekannte, sondern ein Parameter.

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