einfache Körpererweiterung

06.11.2013, 13:07	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
einfache Körpererweiterung Meine Frage: Sei $\begin{eqnarray} L/K \end{eqnarray}$ eine Körpererweiterung und $\begin{eqnarray} \alpha, \; \beta \in L^ \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha^m \in K \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta^n\in K \end{eqnarray}$ . Ferner gelte $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(m,n)=1 \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} K(\alpha,\beta) \end{eqnarray}$ eine einfache Körpererweiterung von $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist mit dem erzeugenden Element $\begin{eqnarray} \alpha\beta \end{eqnarray}$ . Hinweis: Denken Sie an Bezout: es gibt ganze Zahlen $\begin{eqnarray} s,t \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} sm + tn = 1 \end{eqnarray}$ . Meine Ideen:* Also ich weiß zwar, dass aus $\begin{eqnarray} \mathrm{ggT}(m,n)=1 \end{eqnarray}$ nach Bezout folgt $\begin{eqnarray} \exists s,t: sm+tn=1 \end{eqnarray}$ aber weiter weiß ich grad net. Hat jemand nen Tipp? und ne Idee was wohl mit $\begin{eqnarray} L^ \end{eqnarray*}$ gemeint ist?
06.11.2013, 16:28	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: einfache Körpererweiterung hallo, die einfachste frage kann ich dir sofort beantworten: mit $\begin{eqnarray} L^ \end{eqnarray}$ sind allle elemente aus L gemeint, die ungleich 0 sind. Und zu der aufgabe muss man sich überlegen, wie man $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ erzeugen kann, wenn nur $\begin{eqnarray} \alpha\beta \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \alpha^m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta^n \end{eqnarray*}$ gegeben sind. Dazu kann man den satz von bezout ausnutzen, die einzelnen grössen geschickt potenzieren und... gruss ollie3
10.11.2013, 11:22	Jolly Roger	Auf diesen Beitrag antworten »
also $\begin{eqnarray} \alpha = \alpha^{sm}\beta^{tn}\frac{\alpha^{tn}}{\beta^{tn}} \end{eqnarray}$ ?? da wäre wohl noch das problem dass $\begin{eqnarray} \alpha^{tn} \in K \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \left( \frac{\alpha}{\beta}\right)^{tn} \in K \end{eqnarray}$

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