Schnitt/Vereinigung zweier Ereignisse

06.11.2013, 16:10

Lula90

Schnitt/Vereinigung zweier Ereignisse

Hallooooo, ich stehe auf dem Schlauch.

Folgende Aufgabe muss ich lösen:

Es seien $\begin{eqnarray*} A,B \in E \end{eqnarray*}$ zwei Ereignisse mit $\begin{eqnarray*} P(A)=\frac{3}{5} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} P(B)=\frac{1}{2}. \end{eqnarray*}$ .
a) Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{10} \leq P(A\cap B)\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .
b) Finden Sie Beispiele, in denen die Schranken angenommen werden.
c) Finden und beweisen Sie analoge Schranken für $\begin{eqnarray*} P(A \cup B) \end{eqnarray*}$

Also erstmal zu a). In der Aufgabe steht ja nichts davon, dass A und B disjunkt sind. Also kann ich die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach multiplizieren oder? Würde jedenfalls bei c) dann auch keinen Sinn ergeben, wenn ich die W-Keiten addiere, da das Ergebnis dann ja größer als 1 ist. Aber wie berechne ich denn dann die W-Keit bei nicht disjunkten Ereignissen?

Danke schonmal !

06.11.2013, 16:30

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lula90
In der Aufgabe steht ja nichts davon, dass A und B disjunkt sind. Also kann ich die Wahrscheinlichkeiten nicht einfach multiplizieren oder?

Du verwechselst (wie leider viel zu viele) die Begriffe "disjunkt" und "unabhängig" - das sind vollkommen verschiedene Konzepte. unglücklich

Unabhängigkeit ist hier nicht vorausgesetzt und damit auch nicht verwendbar.

06.11.2013, 16:36

Math1986

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RE: Schnitt/Vereinigung zweier Ereignisse
Hallo,
du sollst die Wahrscheinlichkeiten ja auch nicht genau berechnen, sondern sie lediglich abschätzen:
die erste Abschätzung kann man über die Monotonie des Wahrscheinlichkeitsmaßes zeigen:
Es ist offenbar $\begin{eqnarray*} A\cap B\subseteq B \end{eqnarray*}$ und damit auch $\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\right)\leq P\left(B\right)=\frac 12 \end{eqnarray*}$ .

Die Abschätzung nach unten folgt aus geeigneter Anwendung der Siebformel.

Nachtrag: Wären A und B unabhängig, dann könnte man diese Wahrscheinlichkeit direkt ausrechnen - ziemlich witzlos, diese dann noch abzuschätzen.

06.11.2013, 16:37

Lula90

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$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) \end{eqnarray*}$

06.11.2013, 17:02

Lula90

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Steh schon wieder vor ner weißen wand.
Ich kann nichts damit anfangen, wenn ich nichts über die unabhängigkeit weiß.

06.11.2013, 17:27

Math1986

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Nochmals: Die Unabhängigkeit brauchst du dafür nicht.

Die Siebformel ist richtig

Zitat:

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) \end{eqnarray*}$

Wenn du dir nun mal Gedanken über diese machst anstatt sie lediglich hinzuschreiben dann siehst du, dass $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ der einzig unbekannte Summand ist. Du willst $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ nach unten abschätzen, das heißt, du musst $\begin{eqnarray*} P(A\cup B) \end{eqnarray*}$ nach oben abschätzen. Wie gelingt dir das?

06.11.2013, 17:59

Lula90

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ah ich glaube ich habs verstanden.

also forme ich erstmal um:
$\begin{eqnarray*} P(A)+P(B)-P(A\cap B)=P(A\cup B) \end{eqnarray*}$
dann setze ich $\begin{eqnarray*} P(A\cup B)\leq 1 \end{eqnarray*}$ jetzt setze ich meine gegebenen wahrscheinlichkeiten ein und erhalte:
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \geq \frac{3}{5} +\frac{1}{2} -1 = \frac{1}{10} \end{eqnarray*}$

Die andere Abschätzung erhalte ich dann durch $\begin{eqnarray*} A\cap B\subseteq A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\cap B\subseteq B \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)\leq P(A)=\frac{3}{5} <br /> P(A\cap B)\leq P(B)=\frac{1}{2} <br /> \Rightarrow P(A\cap B)\leq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so, oder is das noch immer murks?

06.11.2013, 18:15

Math1986

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Soweit alles richtig. Freude

06.11.2013, 18:42

Lula90

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super. dann kann ich mich ja mit b) beschäftigen.

beispiele finden, dass die schranken angenommen werden.

was heißt das, schranken annehmen? soll ich wahrscheinlichkeiten finden, dass $\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$ ist?

06.11.2013, 18:43

Math1986

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Ja,und das selbe mit der oberen Schranke.

06.11.2013, 18:57

Lula90

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$\begin{eqnarray*} x-y-1=\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
ich muss einfach verschiedene brüche x,y finden damit die gleichung stimmt? das kann doch nicht sein verwirrt

ich kann doch wieder nicht rechnen wegen der ungewissheit bzgl unabhängigkeit

06.11.2013, 19:10

Math1986

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Zitat:

Original von Lula90
$\begin{eqnarray*} x-y-1=\frac{1}{10} \end{eqnarray*}$
ich muss einfach verschiedene brüche x,y finden damit die gleichung stimmt? das kann doch nicht sein verwirrt

ich kann doch wieder nicht rechnen wegen der ungewissheit bzgl unabhängigkeit

Wie kommst du nur darauf? verwirrt

Was genau ist an der Aufgabenstellung denn unklar?

Du musst also einen Wahrscheinlichkeitsraum und Wahrscheinlichkeitsmaß aufstellen und dann Ereignisse $\begin{eqnarray*} A,B \in E \end{eqnarray*}$ angeben, so dass
$\begin{eqnarray*} P(A)=\frac 35 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(B)=\frac 12 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\right)=\frac 1{10} \end{eqnarray*}$
gilt.

Wie du das Beispiel wählst bleibt dir überlassen. Natürlich darfst du dabei eben keine unabhängigen Ereignisse angeben, da sonst die obige Gleichung nicht gelten würde. Du kannst das Beispiel völlig frei wählen, da gibt es keine "Ungewissheit".

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