Teilbarkeit von ganzen Zahlen

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Stephan123 Auf diesen Beitrag antworten »
Teilbarkeit von ganzen Zahlen
Aufgabe:

Zeigen sie ohne Verwendung des Fundamentalsatzes der Arithmetik, dass für alle gilt: Sind und teilerfremd und gilt sowie , dann gilt auch .


Frage:

Hallo,

leider habe ich bei der Aufgabe keine Idee. Das und teilerfremd sind lässt sich auch so ausdrücken:
Gilt für und so gilt .

Weiterhin ist und mit .
Zu zeigen wäre: Es gibt ein .

Nun gilt auch: . Weiter komme ich leider nicht, für einen Hinweis wäre ich dankbar smile .
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Du benennst Welche Bedingung folgt denn aus den beiden letzten Teilen dieser Gleichung? Wie verhalten sich a und b zu den q's?

Das sollte den gewünschten Effekt haben smile
Lg
kgV
Wink
Stephan123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
danke für die Antwort.
Aus der Gleichung folgt:

Leider sehe ich einfach nicht was ich damit anfangen kann.. . Kann noch jemand eine kleine Hilfestellung geben?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Daraus folgt schon noch ein wenig mehr... Bedenke, dass a und b teilerfremd sind, dann bleibt nicht mehr so viel über smile
Stephan123 Auf diesen Beitrag antworten »

Das a und b teilerfremd sind kann ich nur durch ggT(a,b)=1 bzw. so wie ich es oben geschrieben habe charakterisieren. Wie ich das nun in die Gleichung einbaue weiß ich leider nicht..
Was kann ich noch daraus ableiten, dass a und b teilerfremd sind?
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, wenn a ein Teiler von ist, a aber nicht b teilt, dann muss a was teilen?

Analog mit
 
 
Stephan123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

würde gelten so wäre die Aufgabe erledigt, aber aus könnte ich das doch nur schließen, wenn eine Primzahl wäre.
Ich weiß leider nicht was ich daraus sonst ableiten könnte.. .
kgV Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt auch für Nicht-Primzahlen: vergegenwärtige dir dazu:
Nun gilt

Gilt hier oder nicht? Augenzwinkern

Das kannst du aber auch anhand der Primfaktorenzerlegung herleiten: die Primfaktorenzerlegung einer Zahl ist eindeutig, d.h., wenn du eine Gleichung hast, in der links wie rechts nur Produkte vorkommen, so müssen links und rechts die selben Primfaktoren vorkommen. Weil nun a und b teilerfremd sind, also keine gemeinsamen Primfaktoren haben, muss mindestens alle Primfaktoren von a und mindestens alle Primfaktoren von b enthalten.

Was bedeutet das jetzt für dein Problem?
Stephan123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

wir sollen die Aufgabe ja ohne die Primfaktorzerlegung machen. Wenn ich die Primfaktorzerlegung nutze ist es klar, dass gilt. Nun kann ich im Allgemeinen nichts aus ableiten. Ich denke ich müsste die beiden Gleichungen irgentwie kombinieren, nur weiß ich nicht wie. Ich sehe einfach nicht, wie ich auf die Aussage schließen kann.
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Um diese Aussage ableiten zu können ohne den Fundamentalsatz der Arithmetik, möge man sich des Lemmas von Bézout bedienen, welches besagt, dass für zwei ganze Zahlen , von denen zumindest eine von verschieden ist, deren größter gemeinsamer Teiler mit ganzen Zahlen darstellbar ist als



In unserem Fall sind und teilerfremd, also , sodass für gewisse ganze .

Hieraus kann man dann sofort das Lemma des Euklids beweisen.
Dieses besagt, dass, wenn ein das Produkt mit teilt und zu einem der Faktoren teilerfremd ist, dass dann den anderen der beiden Faktoren teilt.
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