Riemannsummen

06.11.2013, 15:40	Veysel1990	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemannsummen Meine Frage: Berechnen sie: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } Rtn(f)=\int_0^a \! \sqrt{x} \, dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiss, dass die Unterteilung definiert ist als: $\begin{eqnarray} x_{k}:=a\frac{k^{2} }{n^{2} } \end{eqnarray}$ für k= 1,...,n Dann habe ich folgendes versucht und bin steckengeblieben: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a}{n}\sqrt{a\frac{k^{2} }{n^{2} }} \end{eqnarray}$ Jetzt weiss ich nicht, wie ich weiterfahren soll. Wäre nett, wenn mir jemand noch heute helfen könnte, denn ich muss die Aufgabe morgen abgeben.
07.11.2013, 06:42	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Das stimmt nicht ganz. Die vorgegebene Unterteilung mit $\begin{eqnarray} x_k = \frac{k^2}{n^2} \cdot a \, , \ 0 \leq k \leq n \end{eqnarray}$ führt auf die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Teilintervalle $\begin{eqnarray} I_k = \left[ x_{k-1} \, , \, x_k \right] \, , \ 1 \leq k \leq n \end{eqnarray}$ Die Intervallbreite $\begin{eqnarray} \Delta x_k \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} I_k \end{eqnarray}$ ist von $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ nicht unabhängig, vielmehr $\begin{eqnarray} \Delta x_k = x_k - x_{k-1} = \frac{2k-1}{n^2} \cdot a \end{eqnarray}$ Jetzt noch einmal von vorne: $\begin{eqnarray} \int_0^a \sqrt{x} ~ \dd x = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n f(x_k) \cdot \Delta x_k \end{eqnarray}$

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