Teilfolge divergent oder konvergent? |
| 06.11.2013, 17:04 | Minchen1213 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Teilfolge divergent oder konvergent? Hallo, 1.) wir sollen zeigen, ob die rekusive Folge, die durch x(1) = 42 und X(n+1) = 5/7x(n) definiert ist, konvergent oder divergent ist. Und 2.) Dass die Folge x(n+1) = x(n)*cos (?x(n))^2 konvergiert, mit x(1) >= 0 Meine Ideen: 1.) ich habe angenommen, dass die Folge monoton fallend ist, dann gilt: 0 < x(n+1) < x(1) für x(1) = 42 und x(2) = (5/7)*42 und dann komm ich nicht wirklich weiter. Kann ich das überhaupt so annehmen? 2.) ich weiß, dass ich das mit Hilfe des Monotoniekriteriums und der Beschränktheit zeigen müsste, aber ich weiß nicht so recht, wie ich Anfangen muss. (cos(?x(n))^2 nach oben abgeschätzt wäre 1, daraus folgt, dass x(n+1) = x(n) ist; (cos(?x(n))^2 nach untern abgeschätz ergibt das ja aber 0 und damit x(n+1) = 0, ist dass dann gleich einer Nullfolge oder ist die Gleichung nur falsch? Oder werf ich jetzt einfach alles durcheinander? Vieln Dank schonmal im voraus 
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| 06.11.2013, 17:26 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Zu 1) Wie du schon richtig gesagt hast, ist die Folge monoton fallend. Außerdem sind alle Folgenglieder positiv. Die Folge ist also monoton und beschränkt. Was sagt dir das über die Konvergenz? Was soll in der zweiten Aufgabe das Fragezeichen im Cosinus bedeuten? |
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| 06.11.2013, 18:32 | Minchen1213 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das Fragezeichen heißt Pi. Also ist die erste Folge eine Nullfolge, nach unten beschränkt. Kann ich so dann auch Aussagen über die obere Schranke machen? |
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| 06.11.2013, 19:18 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da die Folge monoton fallend ist, reicht es, um Konvergenz zu zeigen, eigentlich aus, eine untere Schranke anzugeben. Aber hier findet man (eben wegen der Monotonie) sehr leicht eine obere Schranke. |
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