Unabhängigkeit von Mengensystemen

06.11.2013, 17:53

Spark22

Unabhängigkeit von Mengensystemen

Hallo zusammen,

ich habe gerade ein paar Probleme bei einer Aufgabe in Wahrscheinlichkeitstheorie. Es geht um unabhängige Mengensysteme und nicht Unabhängigkeit der von ihnen erzeugten $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebren. Am besten ich zeig erstmal die Aufgabe und sag dann, wo ich nicht weiter komme.

Gegeben ist ein messbarer Raum $\begin{eqnarray*} (\Omega, 2^{\Omega}) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Omega = \{1,2,3,4\} \end{eqnarray*}$ .

Definieren Sie ein geeignetes Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ und geben Sie zwei Mengensysteme $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 \subset 2^{\Omega} \end{eqnarray*}$ an, so dass aus der Unabhängigkeit der Mengensysteme bezüglich $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ nicht die Unabhängigkeit der von ihnen erzeugten $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebren folgt.
Also meiner Meinung nach kann ich ja nur eine Art von Wahrscheinlichkeitsmaß wählen
$\begin{eqnarray*} P=\frac{|A|}{|\Omega|} \forall A \in 2^{\Omega} \end{eqnarray*}$
oder nicht?
Außerdem weiß ich, dass Mengensysteme $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ unabhängig sind, wenn alle ihre Elemente unabhängig sind und es gilt:
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} A\in \mathcal{A}_1, B\in \mathcal{A}_2 \end{eqnarray*}$ .

So wie ich das verstehe, soll ich doch einfach zwei beliebige Mengensysteme bilden, die bzgl. des Wahrscheinlichkeitsmaßes unabhängig sind. Allerdings weiß ich dann nicht wie ich die von den Mengen erzeugten $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebren bestimmen soll und vor allem wie ich deren nicht Unabhängigkeit zeige. Bitte helft mir. Ich habe das Gefühl, die Aufgabe ist nicht wirklich kompliziert, nur ich verstehe sie einfach nicht.
Vielen Dank

06.11.2013, 17:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spark22
Also meiner Meinung nach kann ich ja nur eine Art von Wahrscheinlichkeitsmaß wählen
$\begin{eqnarray*} P=\frac{|A|}{|\Omega|} \forall A \in 2^{\Omega} \end{eqnarray*}$
oder nicht?

"Oder nicht" trifft zu: Niemand verlangt, dass dein $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ ein Laplacesches W-Maß sein soll - sonst hätte man es mit dazugeschrieben!

06.11.2013, 17:59

Spark22

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Ja, aber da steht doch "geeignetes" Wahrscheinlichkeitsmaß!

06.11.2013, 18:05

HAL 9000

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Und du kannst bevor du ein geeignetes Beispiel gefunden hast einschätzen, dass es zwingend ein solches Beispiel mit Laplaceschen W-Maß geben muss? Hellseherei? Augenzwinkern

06.11.2013, 18:08

Spark22

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Ich dachte das geeignete W'maß bezieht sich auf den messbaren Raum. Kann ich also einfach zwei Mengensysteme bilden und auf den beiden ein beliebiges W'maß bilden, das der Unabhängigkeit genügt?

06.11.2013, 18:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spark22
Ich dachte das geeignete W'maß bezieht sich auf den messbaren Raum. Kann ich also einfach zwei Mengensysteme bilden und auf den beiden ein beliebiges W'maß bilden, das der Unabhängigkeit genügt?

Wenn die Unabhängigkeits-Bedingungen erfüllt sind - na klar.

06.11.2013, 18:30

Spark22

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Ok, das habe ich verstanden. Aber gibt es irgendeine einfache Lösung, oder muss ich einfach rumprobieren und mir Mengensysteme aussuchen? Ich muss ja auch noch die davon erzeugten $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebren untersuchen und da weiß ich nicht mal wie ich die erzeuge.

06.11.2013, 18:40

HAL 9000

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Zitat:

Original von Spark22
Ok, das habe ich verstanden. Aber gibt es irgendeine einfache Lösung, oder muss ich einfach rumprobieren und mir Mengensysteme aussuchen?

Tja, was denkst du? Dass dir die Lösung in den Schoß fällt? Natürlich musst du rumprobieren - ich hab jetzt ca. 20 Minuten gebraucht mit einigen Irrwegen, bis ich ein passendes Beispiel gefunden habe.

Ich kann dich aber insoweit beruhigen, dass es tatsächlich auch mit dem Laplaceschen W-Maß klappt - war mir aber auch nicht von Anfang an klar. Bleibt noch die Suche nach geeigneten Mengensystemen.

06.11.2013, 18:42

Spark22

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Ich probiere selber schon seit fast 45 Minuten, aber finde keinen Ansatz. Zumal ich nicht weiß wie ich eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra aus einem Mengensystem erzeuge. Hast du dazu wenigstens einen Tipp? Augenzwinkern

06.11.2013, 18:44

HAL 9000

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Ich hab meinen vorigen Beitrag noch ergänzt...

Das von mir gefundene Beispiel enthält in dem einen Mengensystem eine und in dem anderen Mengensystem zwei Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

06.11.2013, 20:47

Spark22

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Ok danke. Ich komm zwar immer noch nicht drauf, aber trotzdem danke. Nur noch eine Frage zu Erzeugern. Wenn ich ein Mengensystem $\begin{eqnarray*} \mathcal{A}=\{\{1,2\}\} \end{eqnarray*}$ habe, ist dann die davon erzeugte $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra $\begin{eqnarray*} \sigma(\mathcal{A})=\{\{\},\Omega,\{1,2\},\{3,4\}\} \end{eqnarray*}$ ?

06.11.2013, 21:05

HAL 9000

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Ja.

P.S.: Das Mengensystem ist schon mal ganz passend. Nun such noch das andere. Augenzwinkern

06.11.2013, 21:08

Spark22

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Danke, dann hab ich es auch schon. Hab das mit den Erzeugern falsch gemacht. Vielen Dank nochmal. Ich geh dann mal gleich zur nächsten Aufgabe und werde vermutlich wieder verzweifeln unglücklich

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