Ungleichung

06.11.2013, 18:31

kgV

Ungleichung

Ich habe hier eine Ungleichung, die sich allen Lösungsversuchen bisher erfolgreich widersetzt hat Big Laugh

$\begin{eqnarray*} a,b,c\in\mathbb R, a,b,c>0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c)\leq 3abc \end{eqnarray*}$

Abschätzung über die Mittelungleichung hat in beiden Fällen zu Problemen in Form eines Gegenbeispiels geführt, das ist also schon mal inpraktikabel (es sei den, ich hätte einen gröberen Fehler eingebaut)
Mein Weg dort: $\begin{eqnarray*} ab(a+b)+bc(b+c)+ac(a+c)\leq a^3+b^3+c^3+3abc \end{eqnarray*}$ , dann ab, bc und ac nach oben abschätzen, ging leider nicht

Als nächstes habe ich versucht, mir die Zyklizität der Ungleichung (kann man das so sagen? ich meine den Fakt, dass alle Fälle gleich bleiben, egal welche Ordnung a,b und c haben) zunutze zu machen und die Ordnung a $\begin{eqnarray*} \leq b\leq c \end{eqnarray*}$ festgelegt
Im Anschluss habe ich zwei Fälle unterschieden: $\begin{eqnarray*} a+b\leq c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a+b>c \end{eqnarray*}$ . Der erste Fall hat sich auch tadellos abschätzen lassen, nur beim zweiten Teil lande ich immer bei Nebenbedingungen, die ich so nicht haben kann.
Meine Rechnung:
$\begin{eqnarray*} a^2(b+\underbrace{c-a}_{< b})+b^2(a+\underbrace{c-b}_{<a})+c^2(a+b-\underbrace{c}_{<b})&\leq 3abc\\2a^2b+2ab^2+ac^2&\leq3abc\\2ab+2b^2+c^2&\leq 3bc \end{eqnarray*}$

Und hier verließen sie ihn...Für b=c gilt das Ganze nicht mehr.

Hier ein genereller Zweifel, ob das über Abschätzungen machbar ist: Für a=b=c gilt in der Ursprungsform Gleichheit, wenn ich nun ein Element nach oben abschätze, gilt danach für Gleichheit der Variablen ein Widerspruch...

Wenn ich weniger scharfe Abschätzungen wähle, bleibt das Ungetüm relativ unhandlich und unberechenbar

Auch algebraisch bin ich an der Ungleichung gescheitert. Wo nun liegt mein Trugschluss? Was habe ich übersehen?

lg
kgV
Wink

edit: bin für 45 Minuten weg

06.11.2013, 19:38

HAL 9000

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Sei o.B.d.A. $\begin{eqnarray*} a\geq b\geq c>0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist

$\begin{eqnarray*} (a-b)^2(a+b-c)+ c(a-c)(b-c) \geq 0 \end{eqnarray*}$ ,

daraus folgt die Behauptung.

P.S.: Hinter diesem unscheinbar kurzen Beweis stecken 30 Minuten CAS-Bastelei. Big Laugh

06.11.2013, 19:47

kgV

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Top, danke Freude