Parallele Geraden am Kreis

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steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »
Parallele Geraden am Kreis
Meine Frage:
Hallo Leute, heute mal ein geometrisches Problem:

Es sei der Berührpunkt zweier Kreis. Durch werden zwei Geraden gezogen, deren Schnittpunkte mit den Kreisen . Zeigen Sie, dass die Gerade durch und parallel ist zur Geraden durch und heißen.

Siehe Bild.

Meine Ideen:
Also ich habe schon den Spezialfall gezeigt, dass eine der beiden Geraden genau durch den Mittelpunkt der beiden Kreise geht, dann kann ich mit dem Satz des Thales und dem Stufenwinkelsatz die Parallelität folgern. Gehen beide Gerade durch den Mittelpunkte erhält man zwei Tangenten, die senkrecht auf dem "Radius" (Gerade die Radius enthält) und kann wieder mit dem Stufenwinkelsatz argumentieren.

So jetzt habe ich es noch allgemein versucht, also so wie im Bild. Aber ich finde kein Ansatz der fruchtet. Habe vermutet es über Peripheriewinkel zu zeigen, aber klappt nicht.

Meine Idee ist wieder wie bei dem Spezialfällen zu zeigen, dass der Winkel innen/außen bei C und der Winkel innen/außen bei D gleich sind. Und dann wieder Umkehrung des Stufenwinkelsatzes.

Jemand eine Idee, wie ich das zeigen könnte?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Sagt dir der Begriff Sehnen-Tangenten-Winkel etwas?
Zeichne im Berührpunkt die gemeinsame Tangente der beiden Kreise und betrachte die Sehnen-Tangenten-Winkel zwischen ihr und den Sehnen bzw. .
 
 
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Danke für die Antwort.

Also ich habe sie mir mal gezeichnet, ich hab dann folgendes herrausgefunden. Die Sehnenwinkel nenne ich , die Peripheriwinkel .

Ich habe nun: wobei Der Sehnenwinkel im großen(oberen) Kreis ist.

die jeweiligen Peripheriewinkel sind gleich groß, das folgt aus dem Satz den du verlinkt hast.

Ich folge doch immer noch den Plan den Winke beim Punkt C und Punkt D zu finden oder??

EDIT:

Ich habs, hab erst die Winkel falsch eingezeichnet:

Ich habe es jetzt in etwa so:

Die Sehnenwinkel der beiden Kreise sind gleich, da sie Scheitelwinkel sind. Jeder der beiden ist gleich seinem Peripheriewinkel auf Grund des Sehnentangentenwinkelsatzes. Also sind auch die Peripheriewinkel der beiden gleich. Der Peripheriewinkel im oberen Kreis ist gleich seinem Scheitelwinkel. Dieser Scheitelwinkel ist gleich dem Peripheriewinkel im unteren Kreis. Nun folgt sofort aus der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes, dass die beiden Gerade parallel sind.

Ich hoffe man kann das Nachvollziehen.. Danke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von steviehawk
Ich hoffe man kann das Nachvollziehen


Kann man. Und stimmt auch.
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold, mich würde jetzt noch die Rückrichtung der obigen Aussage interessieren. Ich versuche sie mal zu formulieren:

Gegeben sind zwei parallel Geraden und zwei weitere Geraden die sich gegenseitig im Punkt schneiden, beide Parallelen schneiden. Die Schnitt punkte heißen . Dann existieren zwei Kreise, die sich im Punkt A berühren.

1Frage, ist das die richtig formulierte Umkehrung?

2Frage: Ich habe ja dann mit obiger vorgegebener Konstruktion 5 Punkte. Durch 3 Punkte ist jeweils ein Kreis festgelegt. Für einen Kreis verwende ich: für den anderen die Punkte . Dann berühren sich diese im Punkt .

was ist denn da überhaupt zu zeigen?


Gruß und Danke
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es anders formulieren. Denn die gegenseitige Lage der Punkte ist von Interesse. Auch die Kreise müssen näher beschrieben werden (es gibt unendliche viele Kreise, die sich in berühren).

Gegeben sind vier Punkte , so daß die Geraden und parallel sind und die Strecken und sich in einem Punkt schneiden.
Dann berühren sich die Umkreise der Dreiecke und in .

Die Existenz der Umkreise ist klar, auch daß beide durch gehen, ist von selbst gegeben. Aber warum sollte der einzige gemeinsame Punkt der beiden Kreise sein. Kurzum: Warum berühren sich die beiden Kreise in ?
steviehawk Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Leopold, vielen Dank für deine Korrektur, ich werde mal folgendes Versuchen.

Ich nehme an, dass es noch einen weiteren Punkt gibt der auf beiden Kreisen liegt und versuche dann einen Widerspruch herzuleiten.

EDIT: Ist das denn der richtige Ansatz? Irgendwie komm ich da nicht weiter unglücklich
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde es so sagen:

Wegen der Parallelität von und sind die Dreiecke und ähnlich. Sie gehen durch eine zentrische Streckung an auseinander hervor:



Dabei werden auch die Umkreise der beiden Dreiecke aufeinander abgebildet, also auch deren Mittelpunkte. Folglich liegen diese und das Streckzentrum auf einer Geraden. Bei ist also "kein Knick".
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